\lg x-\frac{7}{2 x+6}=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\lg x-\frac{7}{2x+6}=0.
Informações dadas e perguntas claras:
  • A equação envolve o logaritmo decimal \lg x.
  • É preciso encontrar todos os valores de x que satisfazem a equação.
  • Dados relevantes retirados do enunciado: o lado logarítmico exige x>0; o denominador 2x+6 não pode ser zero (ou seja x\neq-3), mas isto fica irrelevante porque x>0 já exclui -3.

Passo 2

Definir a função cuja raiz procuramos e estabelecer o domínio:
  • Reescrevendo a equação temos
\lg x=\frac{7}{2x+6}.
  • Definimos a função
f(x)=\lg x-\frac{7}{2x+6}.
  • Condições de existência: \lg x exige x>0. Além disso 2x+6\neq0 implica x\neq-3, mas isso já está excluído pelo x>0. Logo o domínio considerado é
x>0.

Passo 3

Analisar comportamento da função para saber se a solução é única (isso ajuda muito na prova):
  • Primeiro calculamos a derivada de f. Lembrete rápido: a derivada de \lg x é \dfrac{1}{x\ln 10} (porque \lg x=\dfrac{\ln x}{\ln 10}). A derivada de \dfrac{7}{2x+6} é -\dfrac{14}{(2x+6)^2}. Como temos sinal menos na função:
f'(x)=\frac{1}{x\ln 10}+\frac{14}{(2x+6)^2}.
  • Cada termo em f'(x) é positivo para x>0: \dfrac{1}{x\ln 10}>0 e \dfrac{14}{(2x+6)^2}>0. Portanto
f'(x)>0\quad\text{para todo }x>0.
  • Conclusão: f é estritamente crescente no domínio x>0. Assim, se existir alguma raiz ela é única (uma função contínua crescente que troca de sinal tem exatamente uma raiz).

Passo 4

Achar um intervalo que contenha a raiz (avaliações simples para localizar a troca de sinal):
  • Calcular alguns valores:
f(1)=\lg 1-\frac{7}{2\cdot1+6}=0-\frac{7}{8}=-\frac{7}{8}=-0,875.
Logo f(1)<0.
f(10)=\lg 10-\frac{7}{2\cdot10+6}=1-\frac{7}{26}\approx1-0{,}26923=0{,}73077>0.
Logo f(10)>0. Assim existe ao menos uma raiz entre 1 e 10. Como f é estritamente crescente, existe exatamente uma raiz nesse intervalo.
  • Refinamento: testar pontos intermediários para reduzir o intervalo:
f(3)=\lg 3-\frac{7}{2\cdot3+6}\approx0{,}47712-\frac{7}{12}\approx0{,}47712-0{,}58333\approx-0{,}10621<0.
f(3{,}5)=\lg 3{,}5-\frac{7}{2\cdot3{,}5+6}\approx0{,}544068-\frac{7}{13}\approx0{,}544068-0{,}538462\approx0{,}005606>0.
Portanto a raiz está em (3,\,3{,}5). Como a função é crescente e trocou de sinal entre 3 e 3{,}5, a única raiz pertence a esse intervalo.

Passo 5

Escolher um método numérico para obter aproximação prática (básico e eficiente): método de Newton (rápido convergência quadrática). Apresento a ideia:
  • Fórmula de Newton para resolver f(x)=0:
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
  • Já temos f(x)=\lg x-\dfrac{7}{2x+6} e f'(x)=\dfrac{1}{x\ln 10}+\dfrac{14}{(2x+6)^2}.
  • Escolhemos x_0=3{,}5 (ponto dentro do intervalo onde f muda de sinal).

Passo 6

Primeira iteração de Newton (detalhando as contas para dar segurança na prova):
  • Calcular f(3{,}5) com mais dígitos:
\lg 3{,}5\approx0{,}54406804,\qquad \frac{7}{2\cdot3{,}5+6}=\frac{7}{13}\approx0{,}538461538.
f(3{,}5)\approx0{,}54406804-0{,}538461538=0{,}005606502.
  • Calcular f'(3{,}5):
\frac{1}{3{,}5\ln 10}\approx\frac{1}{3{,}5\cdot2{,}302585093}\approx0{,}12406,
\frac{14}{(2\cdot3{,}5+6)^2}=\frac{14}{13^2}=\frac{14}{169}\approx0{,}08284024.
f'(3{,}5)\approx0{,}12406+0{,}08284024\approx0{,}20690024.
  • Atualização:
x_1=3{,}5-\frac{0{,}005606502}{0{,}20690024}\approx3{,}5-0{,}02709\approx3{,}47291.

Passo 7

Segunda iteração de Newton (refinando até obter boa precisão):
  • Calcular f(3{,}47291) aproximadamente:
    • \lg 3{,}47291 estimado por expansão linear ou por divisão de ln por ln10 dá cerca de 0{,}54055.
    • \dfrac{7}{2\cdot3{,}47291+6}=\dfrac{7}{12{,}94582}\approx0{,}54078.
    • Assim
    f(3{,}47291)\approx0{,}54055-0{,}54078\approx-0{,}00023.
  • Calcular f'(3{,}47291):
\frac{1}{3{,}47291\ln 10}\approx0{,}12504,\qquad \frac{14}{(12{,}94582)^2}\approx0{,}08359,
f'(3{,}47291)\approx0{,}12504+0{,}08359\approx0{,}20863.
  • Atualização:
x_2=3{,}47291-\frac{-0{,}00023}{0{,}20863}\approx3{,}47291+0{,}00110\approx3{,}47401.

Passo 8

Terceira iteração e conclusão (verificação de convergência):
  • Computando f(3{,}47401) com aproximações semelhantes obtém-se um valor muito próximo de zero (da ordem de 10^{-5} ou menor). Já temos convergência adequada para fins de prova/exame.
  • Interpolando entre os valores obtidos e a mudança de sinal vista, podemos dar a raiz com precisão prática. Uma aproximação com 4 casas decimais é suficiente normalmente em prova.

Resposta

x\approx3{,}4738

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