Passo 1
O enunciado pede resolver a equação
Informações e condições fornecidas:
- A incógnita é
. - A operação
é o logaritmo na base . - Domínio: para
estar definida é necessário , ou seja . - Objetivo: encontrar todos os
que satisfaçam a equação.
Passo 2
Fazer uma substituição que simplifica a equação: seja
Então
. Substituindo na equação original obtemos
Desenvolvendo a soma:
Cancelando
dos dois lados:
Agora o problema fica: resolver
com
.
Passo 3
Trocar
por logaritmo natural para trabalhar com funções exponenciais. Lembrando a relação
onde
é o logaritmo natural e
é uma constante (
). Substituindo:
Esta é uma equação transcendental (contém
e
juntos), não resolvível por álgebra elementar simples, mas podemos transformá-la para usar a função
de Lambert ou resolver numericamente. Vou apresentar ambas: a solução exata com
(útil para entender a forma da solução) e um cálculo numérico prático (como faria na prova sem calculadora científica avançada, usando método iterativo).
Passo 4
Solução exata com a função de Lambert
(apresentação e derivação didática).
- Seja
. Então . - Substituindo em
dá
- Multiplicando por
:
- Isolando
em forma útil:
- Multiplicando ambos os lados por
obtemos
- Fazendo
obtemos a equação padrão do Lambert :
Pela definição da função
, a solução é
. Voltando a
e a
:
Usando a identidade
(que vem de
), com
, obtemos
Finalmente,
Observação didática curta: a função
(de Lambert) resolve equações do tipo
. Aqui ela aparece naturalmente ao transformar a mistura de exponencial e logaritmo.
Passo 5
Cálculo numérico prático da solução (método de Newton-Raphson aplicado à equação em
).
Queremos resolver com
.
Derivada:
Queremos resolver
Derivada:
Escolhe-se um chute inicial razoável. Observando que
deve estar entre
e
(testes rápidos), escolhemos
. A iteração de Newton é
Cálculos (com números arredondados para manter transparência):
- Constante:
. - Para
:
- Para
:
Após duas iterações já estamos suficientemente precisos para uma prova prática:
. Então
Passo 6
Verificação rápida (substituição numérica) para confirmar:
Calcular LHS da equação original com :
Calcular LHS da equação original com
ou seja dá aproximadamente
, confirmando a solução dentro do erro de arredondamento.