Para uma liga chumbo-estanho com composição de 80 \% p \mathrm{Sn}-20 \% p p a 180^{\circ} \mathrm{C}, faça o seguinte:
(a) Determine as frações mássicas das fases a e \beta.
(b) Determine as frações mássicas dos microconstituintes
b primário e eutético.
(c) Determine a fração mássica de \beta eutético.

Passo 1

O enunciado diz: temos uma liga chumbo-estanho com composição global C_0 = 80\% em massa de Sn (ou seja, 80\% Sn — 20\% Pb) à temperatura 180^\circ\mathrm{C}. Precisamos de três coisas:
  1. (a) As frações mássicas (ou seja, percentuais em massa) das fases \alpha e \beta presentes a 180^\circ\mathrm{C}.
  2. (b) As frações mássicas dos microconstituintes “ \beta primário” e “eutético”.
  3. (c) A fração mássica de \beta que pertence ao eutético (isto é, a massa de \beta formada dentro do eutético, como fração da massa total da liga).
Informações que usarei (valores lidos do diagrama de fase Pb–Sn, padrão):
  • composição eutética C_e = 61{,}9\% Sn (eutético a 183^\circ\mathrm{C}, usamos o valor de composição do eutético);
  • composição da fase \alpha em equilíbrio perto do eutético (solvus) a 180^\circ\mathrm{C}: C_\alpha = 18{,}3\% Sn;
  • composição da fase \beta em equilíbrio perto do eutético a 180^\circ\mathrm{C}: C_\beta = 97{,}5\% Sn.
Nota rápida: os valores C_\alpha e C_\beta vêm do diagrama de fase Pb–Sn para a temperatura considerada — aqui uso valores típicos tabelados para \approx 180^\circ\mathrm{C}. Se o seu professor usar números ligeiramente diferentes, basta substituir e seguir os mesmos passos.

Passo 2

Explicação da regra do compasso (lever rule) para duas fases: quando duas fases sólidas \alpha e \beta coexistem (com composições de equilíbrio C_\alpha e C_\beta), a fração mássica da fase \alpha é dada por
f_\alpha=\frac{C_\beta-C_0}{C_\beta-C_\alpha},
e a fração mássica da fase \beta é
f_\beta=\frac{C_0-C_\alpha}{C_\beta-C_\alpha}.
Aqui C_0 é a composição global da liga (em % Sn), C_\alpha é composição da \alpha em equilíbrio e C_\beta a composição da \beta em equilíbrio. A fórmula vem da conservação de massa: a massa total de Sn é a média ponderada das composições das fases.
Agora aplicamos com os números:
f_\alpha=\frac{97{,}5-80}{97{,}5-18{,}3}=\frac{17{,}5}{79{,}2}=0{,}2209\approx0{,}221.
Logo
f_\alpha\approx22{,}1\%.
E
f_\beta=1-f_\alpha\approx77{,}9\%.

Passo 3

Explicação sobre “ \beta primário” e “eutético”: para uma liga hipereutética ( C_0>C_e) como 80\% Sn, ao resfriar forma-se primeiro \beta primário até que o líquido restante alcance a composição eutética C_e. No instante do eutético, o que sobra de líquido transforma-se em mistura eutética ( \alpha+\beta). A fração mássica de \beta primário é dada por (regra do compasso aplicada entre C_0, C_e e C_\beta)
f_{\beta,\text{prim}}=\frac{C_0-C_e}{C_\beta-C_e}.
A fração de eutético (toda a massa que solidifica no eutético) é
f_{\text{eut}}=1-f_{\beta,\text{prim}}.
Calculando:
f_{\beta,\text{prim}}=\frac{80-61{,}9}{97{,}5-61{,}9}=\frac{18{,}1}{35{,}6}=0{,}5084\approx0{,}508.
Logo
f_{\beta,\text{prim}}\approx50{,}8\%,
e
f_{\text{eut}}=1-0{,}5084=0{,}4916\approx49{,}2\%.

Passo 4

Dentro do eutético (a mistura lamelar \alpha+\beta formada no reação eutética), as frações relativas de \alpha e \beta são obtidas novamente pela regra do compasso, usando os pontos C_\alpha, C_e e C_\beta. A fração mássica de \beta dentro do eutético é
f_{\beta|\text{eut}}=\frac{C_e-C_\alpha}{C_\beta-C_\alpha}.
Calculando:
f_{\beta|\text{eut}}=\frac{61{,}9-18{,}3}{97{,}5-18{,}3}=\frac{43{,}6}{79{,}2}=0{,}5505\approx0{,}5505.
Isto significa que 55{,}05\% da massa do eutético é \beta e o restante 44{,}95\% é \alpha.
A fração mássica total da liga que corresponde à \beta formada dentro do eutético é
f_{\beta,\text{eut}}=f_{\text{eut}}\times f_{\beta|\text{eut}}=0{,}4916\times0{,}5505=0{,}2705\approx0{,}2705,
ou seja cerca de 27{,}05\% da massa total.
Para checar consistência: fração total de \beta = \beta primário + \beta do eutético:
0{,}5084+0{,}2705=0{,}7789\approx77{,}9\%,
que coincide com f_\beta calculada no Passo 2 (pequenas diferenças de arredondamento).

Resposta

(a) \alpha: 22{,}1\% \quad \beta: 77{,}9\%
(b) \beta primário: 50{,}8\% \quad eutético: 49{,}2\%
(c) \beta eutético: 27{,}1\%

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