Um pequeno trator vai ser projetado para empurrar horizontalmente com uma força de 36 kN , em quanto desenvolve uma força vertical para abaixo de 18 kN sobre a lâmina da pá. Dois pinos A simetricamente colocados vão resistir as forças aplicadas. Que tamanho devem ter os pinos se o esforço admissível ao cisalhamento é 20 MPa ?

Passo 1

Dados fornecidos pelo enunciado:
\text{Força horizontal total} = 36\\ \text{kN}ç
\text{Força vertical (para baixo) total} = 18\\ \text{kN}ç
\text{Número de pinos }A = 2\\ (\text{simetricamente colocados})ú
\text{Esforço admissível ao cisalhamento} = 20\\ \text{MPa}çí
Pergunta do enunciado: Que tamanho (diâmetro) devem ter os pinos A para que não ultrapassem o esforço admissível ao cisalhamento?

Passo 2

Assunções e justificativa do método escolhido (importante para saber como calcular):
  • Como os pinos são colocados simetricamente, assumimos que cada pino suporta metade da força horizontal e metade da força vertical. Essa é uma prática comum quando peças idênticas estão simetricamente posicionadas e não há indicação de concentração de carga em apenas um pino.
  • Assumimos que o carregamento nos pinos é de cisalhamento simples (cada pino tem uma superfície efetiva de cisalhamento equivalente à seção circular do pino). Se houvesse duas superfícies de cisalhamento por pino (cisalhamento duplo), o esforço seria diferente; aqui não há indicação explícita de cisalhamento duplo, então usamos cisalhamento simples.
  • Método: calcular a resultante de cisalhamento em cada pino a partir das componentes horizontais e verticais (metodologia de soma vetorial), depois exigir que a tensão de cisalhamento \tau = F_{\text{por pino}}/A não exceda o admissível 20\\ \text{MPa}. Resolver para o diâmetro d.

Passo 3

Calcular as forças que atuam em cada pino (conversão de unidades e divisão por 2):
36\\ \text{kN} = 36\,000\\ \text{N},\qquad 18\\ \text{kN} = 18\,000\\ \text{N}.
Como são dois pinos simétricos, a componente horizontal por pino é
F_{x,\text{por pino}} = \frac{36\,000}{2} = 18\,000\\ \text{N},
e a componente vertical por pino é
F_{y,\text{por pino}} = \frac{18\,000}{2} = 9\,000\\ \text{N}.
A resultante da força de cisalhamento em cada pino (soma vetorial das componentes) é
F_{\text{por pino}} = \sqrt{\left(F_{x,\text{por pino}}\right)^{2} + \left(F_{y,\text{por pino}}\right)^{2}} = \sqrt{(18\,000)^{2} + (9\,000)^{2}}\\ \text{N}.
Calculemos:
(18\,000)^{2} = 324\,000\,000,\qquad (9\,000)^{2} = 81\,000\,000,
F_{\text{por pino}} = \sqrt{324\,000\,000 + 81\,000\,000} = \sqrt{405\,000\,000} = 20\,124{,}6118\\ \text{N}.

Passo 4

Relação tensão de cisalhamento e área do pino:
  • Para um pino circular com diâmetro d, a área à cisalhamento (seção transversal) é
A = \frac{\pi d^{2}}{4}.
  • A tensão de cisalhamento média é
\tau = \frac{F_{\text{por pino}}}{A}.
Queremos \tau \le 20\\ \text{MPa}. Rearranjando para resolver d:
d = \sqrt{\frac{4F_{\text{por pino}}}{\pi \tau}}.
Observação de unidades: usamos F_{\text{por pino}} em newtons e \tau em \text{N}/\text{mm}^{2} (pois 1\\ \text{MPa}=1\\ \text{N}/\text{mm}^{2}). Assim, o resultado para d vem em milímetros.

Passo 5

Substituir valores numéricos na fórmula:
F_{\text{por pino}} = 20\,124{,}6118\\ \text{N},\qquad \tau = 20\\ \text{MPa} = 20\\ \frac{\text{N}}{\text{mm}^{2}}.
d = \sqrt{\frac{4\cdot 20\,124{,}6118}{\pi\cdot 20}} \\ \text{mm}.
Calcule passo a passo:
4\cdot 20\,124{,}6118 = 80\,498{,}4472,
\pi\cdot 20 \approx 62{,}83185307,
\frac{80\,498{,}4472}{62{,}83185307} \approx 1\,281{,}5594\\ \text{(mm}^{2}\text{)},
d = \sqrt{1\,281{,}5594}\approx 35{,}79\\ \text{mm}.
Interpretação prática: o diâmetro necessário é cerca de 35{,}8\\ \text{mm}. Em projeto costuma-se adotar o próximo diâmetro comercial maior por segurança e folga de fabricação; portanto adotar d=36\\ \text{mm} (ou, se quiser margem adicional, d=40\\ \text{mm}).

Resposta

Diâmetro d \approx 35{,}8\\ \mathrm{mm}. Adotar d=36\\ \mathrm{mm}.

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