9.27 A coluna de concreto de
é reforçada com seis barras de aço, cada uma com 28 mm de diâmetro. Sabendo que
e
, determine as tensões normais no aço e no concreto quando uma força
centrada axial de 1.575 kN é aplicada à coluna.
Passo 1
O enunciado pede: determinar as tensões normais no aço e no concreto quando uma força axial centrada
de
é aplicada à coluna.
Dados fornecidos:
Dados fornecidos:
O que é crucial: para determinar numericamente as tensões precisamos da área da seção transversal do concreto (ou da geometria da seção transversal da coluna) para obter a área do concreto
. No enunciado que você me mandou não há essa área nem figura com a seção. Sem
não é possível obter valores numéricos finais das tensões. Vou, portanto, explicar passo a passo o método correto (para você aplicar se tiver a área
ou a figura) e calcular a área total do aço (essa sim fornecível com os dados que temos).
Passo 2
Princípio físico e compatibilidade (aula rapidinha, mas completa): como a carga é axial e centrada, a coluna sofre alongamento/compressão axial uniforme na seção; portanto, a deformação axial é a mesma no aço e no concreto no ponto considerado (adesão perfeita entre materiais). Chamando de
essa deformação comum, valem as leis de Hooke locais:
onde
-
é a tensão normal no concreto (positiva em tração; aqui é só magnitude), -
é a tensão normal no aço, -
e são os módulos de elasticidade do concreto e do aço, respectivamente, -
é a deformação axial comum.
A força total interna que equilibra
é a soma das forças nas duas partes:
onde
é a área de concreto e
a área total de aço. Substituindo as leis de Hooke:
Assim obtemos a deformação comum:
Passo 3
A partir de
deduzimos as tensões (estas são as fórmulas que você deve memorizar/usar na prova):
Explicando cada termo:
é a área de concreto (exceto a área ocupada pelo aço),
é a área total de aço; a razão
é o chamado “coeficiente modular” ou “razão modular” (aço é mais rígido que concreto, então
é grande). Essas fórmulas mostram que as tensões são proporcionais a
e repartidas conforme as áreas ponderadas pelos módulos.
Passo 4
Vamos calcular a área do aço, que dá um passo prático que você consegue fazer na prova. Área de uma barra circular:
Com
:
Área total do aço (6 barras):
Vou repetir com números arredondados para a prova:
.
Passo 5
Aplicando agora as fórmulas do Passo 3 com os valores conhecidos (
,
,
) mas deixando
simbólico, obtemos:
pois
E
Estas duas expressões são prontas para uso: se você colocar aí o valor numérico de
(em
) e o valor numérico de
em newtons, obtém as tensões em pascals.
Passo 6
Observação sobre a força
: no enunciado você escreveu
. Em notação inglesa/alguns textos isso pode significar
ou, se for separador de milhares, pode significar
. Na prática de coluna de concreto é mais plausível que a carga seja grande (ordem de
), mas eu não vou supor o formato. Quando você me informar (ou verificar no enunciado original / figura) o valor correto de
em newtons e a área
, você simplesmente:
- calcula
como fiz no Passo 4; - substitui
, e nas fórmulas do Passo 5; - obtém
e .
Se quiser, eu já faço essa substituição numérica para você assim que você confirmar (a) a área da seção de concreto
ou a geometria da seção, e (b) a interpretação correta do valor de
.
Resposta
Não é possível determinar numericamente as tensões porque a área da seção transversal do concreto
(ou a figura da seção) não foi fornecida.