9.27 A coluna de concreto de 1,35 \mathrm{~m} é reforçada com seis barras de aço, cada uma com 28 mm de diâmetro. Sabendo que E_{\alpha 00}=200 \mathrm{GPa} e E_{\text {cux }}=25 \mathrm{GPa}, determine as tensões normais no aço e no concreto quando uma força \mathbf{P} centrada axial de 1.575 kN é aplicada à coluna.

Passo 1

O enunciado pede: determinar as tensões normais no aço e no concreto quando uma força axial centrada \mathbf{P} de 1{,}575\\ \mathrm{kN} é aplicada à coluna.
Dados fornecidos:
\begin{aligned} &\text{Comprimento da coluna: }1{,}35\\ \mathrm{m}\quad(\text{dado, mas não usado diretamente para tensões uniformes}),\\\ &\text{Número de barras de aço: }6,\\\ &\text{Diâmetro de cada barra: }28\\ \mathrm{mm}=0{,}028\\ \mathrm{m},\\\ &E_{\text{aço}}=200\\ \mathrm{GPa}=200\times 10^{9}\\ \mathrm{Pa},\\\ &E_{\text{concreto}}=25\\ \mathrm{GPa}=25\times 10^{9}\\ \mathrm{Pa},\\\ &\text{Força axial centrada: }P=1{,}575\\ \mathrm{kN}. \end{aligned}ãõúçâçç
O que é crucial: para determinar numericamente as tensões precisamos da área da seção transversal do concreto (ou da geometria da seção transversal da coluna) para obter a área do concreto A_c. No enunciado que você me mandou não há essa área nem figura com a seção. Sem A_c não é possível obter valores numéricos finais das tensões. Vou, portanto, explicar passo a passo o método correto (para você aplicar se tiver a área A_c ou a figura) e calcular a área total do aço (essa sim fornecível com os dados que temos).

Passo 2

Princípio físico e compatibilidade (aula rapidinha, mas completa): como a carga é axial e centrada, a coluna sofre alongamento/compressão axial uniforme na seção; portanto, a deformação axial é a mesma no aço e no concreto no ponto considerado (adesão perfeita entre materiais). Chamando de \varepsilon essa deformação comum, valem as leis de Hooke locais:
\sigma_{\text{c}}=E_{\text{c}}\varepsilon,\qquad \sigma_{\text{s}}=E_{\text{s}}\varepsilon,
onde
  • \sigma_{\text{c}} é a tensão normal no concreto (positiva em tração; aqui é só magnitude),
  • \sigma_{\text{s}} é a tensão normal no aço,
  • E_{\text{c}} e E_{\text{s}} são os módulos de elasticidade do concreto e do aço, respectivamente,
  • \varepsilon é a deformação axial comum.
A força total interna que equilibra P é a soma das forças nas duas partes:
P = \sigma_{\text{c}}A_{\text{c}} + \sigma_{\text{s}}A_{\text{s}},
onde A_{\text{c}} é a área de concreto e A_{\text{s}} a área total de aço. Substituindo as leis de Hooke:
P = \varepsilon\left(E_{\text{c}}A_{\text{c}} + E_{\text{s}}A_{\text{s}}\right).
Assim obtemos a deformação comum:
\varepsilon = \frac{P}{E_{\text{c}}A_{\text{c}} + E_{\text{s}}A_{\text{s}}}.

Passo 3

A partir de \varepsilon deduzimos as tensões (estas são as fórmulas que você deve memorizar/usar na prova):
\sigma_{\text{c}} = E_{\text{c}}\varepsilon = \frac{E_{\text{c}}P}{E_{\text{c}}A_{\text{c}} + E_{\text{s}}A_{\text{s}}} = \frac{P}{A_{\text{c}} + \left(\dfrac{E_{\text{s}}}{E_{\text{c}}}\right)A_{\text{s}}},
\sigma_{\text{s}} = E_{\text{s}}\varepsilon = \frac{E_{\text{s}}P}{E_{\text{c}}A_{\text{c}} + E_{\text{s}}A_{\text{s}}} = \frac{P}{\left(\dfrac{E_{\text{c}}}{E_{\text{s}}}\right)A_{\text{c}} + A_{\text{s}}}.
Explicando cada termo: A_{\text{c}} é a área de concreto (exceto a área ocupada pelo aço), A_{\text{s}} é a área total de aço; a razão n=\dfrac{E_{\text{s}}}{E_{\text{c}}} é o chamado “coeficiente modular” ou “razão modular” (aço é mais rígido que concreto, então n é grande). Essas fórmulas mostram que as tensões são proporcionais a P e repartidas conforme as áreas ponderadas pelos módulos.

Passo 4

Vamos calcular a área do aço, que dá um passo prático que você consegue fazer na prova. Área de uma barra circular:
A_{\text{barra}}=\frac{\pi d^{2}}{4}.
Com d=0{,}028\\ \mathrm{m}:
A_{\text{barra}}=\frac{\pi(0{,}028)^{2}}{4} =\pi\cdot 0{,}000784\cdot \frac{1}{4} \approx 6{,}1575\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}^{2}.
Área total do aço (6 barras):
A_{\text{s}}=6A_{\text{barra}}\approx 6\times 6{,}1575\times 10^{-4} \approx 3{,}6945\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}^{2}.
Vou repetir com números arredondados para a prova: A_{\text{s}}\approx 3{,}694\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}^{2}.

Passo 5

Aplicando agora as fórmulas do Passo 3 com os valores conhecidos ( E_{\text{s}}, E_{\text{c}}, A_{\text{s}}) mas deixando A_{\text{c}} simbólico, obtemos:
\sigma_{\text{c}}=\frac{P}{A_{\text{c}}+\left(\dfrac{E_{\text{s}}}{E_{\text{c}}}\right)A_{\text{s}}} = \frac{P}{A_{\text{c}} + 8\;A_{\text{s}}},
pois
\frac{E_{\text{s}}}{E_{\text{c}}}=\frac{200\\ \mathrm{GPa}}{25\\ \mathrm{GPa}}=8.
E
\sigma_{\text{s}}=\frac{P}{\left(\dfrac{E_{\text{c}}}{E_{\text{s}}}\right)A_{\text{c}} + A_{\text{s}}} = \frac{P}{\tfrac{1}{8}A_{\text{c}} + A_{\text{s}}}.
Estas duas expressões são prontas para uso: se você colocar aí o valor numérico de A_{\text{c}} (em \mathrm{m}^{2}) e o valor numérico de P em newtons, obtém as tensões em pascals.

Passo 6

Observação sobre a força P: no enunciado você escreveu 1{,}575\\ \mathrm{kN}. Em notação inglesa/alguns textos isso pode significar 1{,}575\times 10^{3}\\ \mathrm{N}=1575\\ \mathrm{N} ou, se for separador de milhares, pode significar 1575\\ \mathrm{kN}=1{,}575\times 10^{6}\\ \mathrm{N}. Na prática de coluna de concreto é mais plausível que a carga seja grande (ordem de 10^{6}\\ \mathrm{N}), mas eu não vou supor o formato. Quando você me informar (ou verificar no enunciado original / figura) o valor correto de P em newtons e a área A_{\text{c}}, você simplesmente:
  1. calcula A_{\text{s}} como fiz no Passo 4;
  2. substitui P, A_{\text{s}} e A_{\text{c}} nas fórmulas do Passo 5;
  3. obtém \sigma_{\text{c}} e \sigma_{\text{s}}.
Se quiser, eu já faço essa substituição numérica para você assim que você confirmar (a) a área da seção de concreto A_{\text{c}} ou a geometria da seção, e (b) a interpretação correta do valor de P.

Resposta

Não é possível determinar numericamente as tensões porque a área da seção transversal do concreto A_{\text{c}} (ou a figura da seção) não foi fornecida.

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