Liga-se um corpo de massa m à extremidade de uma associação de N molas ligadas em série. O corpo oscila com um movimento harmônico simples sobre um plano horizontal sem atrito. Deduza uma expressão para determinação da constante k da mola equivalente em função das constantes de cada uma das molas.

Passo 1

O enunciado diz que uma massa m está presa a N molas em série, todas com constantes k_{1},k_{2},\dots,k_{N}, e que o conjunto oscila livremente em MHS sobre um plano sem atrito. Para achar a constante equivalente k dessa associação, vamos usar que, em equilíbrio estático, a força F aplicada provoca em cada mola i uma extensão \,x_{i} dada por \,x_{i}=F/k_{i}, e que a extensão total x do sistema em série é a soma dessas extensões.

Passo 2

Sob a mesma força F, cada mola i sofre extensão
x_{i}=\frac{F}{k_{i}}\,.

Passo 3

A extensão total x do conjunto em série é a soma das extensões individuais:
x = \sum_{i=1}^{N} x_{i} = \sum_{i=1}^{N}\frac{F}{k_{i}} = F \sum_{i=1}^{N}\frac{1}{k_{i}}\,.

Passo 4

Definimos a constante equivalente k pela relação F = k\,x. Substituindo x obtido acima:
F = k \Bigl(F \sum_{i=1}^{N}\frac{1}{k_{i}}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad k = \frac{F}{F\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{k_{i}}} = \frac{1}{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{k_{i}}}\,.

Resposta

k = \biggl(\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{k_{i}}\biggr)^{-1}\,.

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