Um objeto de massa M executa pequenas oscilações em torno de um ponto situado a uma distância d do centro de massa do objeto. O momento de inércia em relação ao eixo de rotação é igual a I. Este pêndulo composto está preso ao teto de um elevador que sobe com aceleração cujo módulo a é constante. Determine o período das pequenas oscilaçōes deste pêndulo.

Passo 1

O enunciado descreve um pêndulo composto de massa M, cujo ponto de suspensão está a uma distância d do centro de massa, e momento de inércia em relação ao eixo de rotação igual a I. Além disso, esse pêndulo está em um elevador que sobe com aceleração constante de módulo a. O objetivo é achar o período das pequenas oscilações. Vamos usar a dinâmica de pequenas oscilações num referencial não inercial, substituindo a gravidade g pela gravidade efetiva g_{\rm eff}.

Passo 2

Em quadro acelerado para cima com aceleração a, aparece uma força inercial no mesmo sentido de g. Assim a aceleração resultante que puxa o pêndulo é
g_{\rm eff} = g + a.

Passo 3

Para pequenas oscilações de ângulo \theta, o torque restaurador em torno do pivô vale
\tau = -M\,g_{\rm eff}\,d\,\theta.
O sentido menos indica que o torque tende a levar \theta de volta a zero.

Passo 4

A equação do movimento angular é
I\,\theta'' = \tau = -M\,g_{\rm eff}\,d\,\theta,
ou seja
I\,\theta'' + M\,g_{\rm eff}\,d\,\theta = 0.
Isto é uma equação de oscilação harmônica com
\omega^{2} = \frac{M\,g_{\rm eff}\,d}{I}.

Passo 5

O período das pequenas oscilações é dado pela relação
T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{I}{M\,g_{\rm eff}\,d}} = 2\pi \sqrt{\frac{I}{M\,d\,(g + a)}}.

Resposta

T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{M\,d\,(g + a)}}.

Exercícios relacionados