lim x 0 cos (x)-e^-x^2x^2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. A questão é calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente limites e as expansões em séries de Taylor para as funções e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um limite. Basicamente, queremos saber o comportamento da função quando fica muito, muito perto de 0. Para resolver isso, uma boa estratégia é expandir as funções e em séries de Taylor ao redor de 0.

Passo 3

Vamos começar com a expansão de cos(x) = 1 - x^22! + x^44! - dots . A série de Taylor de cos(x) approx 1 - x^22 em torno de 0 é:
Como vamos dividir por , podemos parar na :

Passo 4

Agora, vamos expandir e^-x^2 = 1 - x^2 + x^42 - dots . A série de Taylor de e^-x^2 approx 1 - x^2 é . Substituindo :
De novo, parando em :

Passo 5

Agora, vamos substituir essas aproximações na expressão original:
cos(x) - e^-x^2x^2 approx (1 - x^22) - (1 - x^2)x^2

Passo 6

Simplificando o numerador:
(1 - x^22) - (1 - x^2) = 1 - x^22 - 1 + x^2 = x^22

Passo 7

Então, temos:
x^22x^2 = 12

Resposta

Portanto, o limite quando se aproxima de 0 é .

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