Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. A questão é calcular o limite quando
se aproxima de 0 da expressão
. Vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente limites e as expansões em séries de Taylor para as funções
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um limite. Basicamente, queremos saber o comportamento da função quando
fica muito, muito perto de 0. Para resolver isso, uma boa estratégia é expandir as funções
e
em séries de Taylor ao redor de 0.
Passo 3
Vamos começar com a expansão de
. A série de Taylor de
em torno de 0 é:
Como vamos dividir por
, podemos parar na
:
Passo 4
Agora, vamos expandir
. A série de Taylor de
é
. Substituindo
:
De novo, parando em
:
Passo 5
Agora, vamos substituir essas aproximações na expressão original:
Passo 6
Simplificando o numerador:
Passo 7
Então, temos:
Resposta
Portanto, o limite quando
se aproxima de 0 é
.