lim x 0 sin (x)-sin (x^2)x-x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite quando se aproxima de 0 para a expressão . Isso envolve conhecimentos de limites e, possivelmente, a regra de L’Hôpital. Vamos precisar usar propriedades de funções trigonométricas e regras de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos sin(0) - sin(0^2)0 - 0^2 = 0 - 00 - 0 = 00 diretamente na expressão.
Esse resultado é uma forma indeterminada ( ), o que significa que precisamos de uma técnica para resolver.

Passo 3

Quando encontramos uma forma indeterminada como , uma ferramenta poderosa é a Regra de L’Hôpital. Ela nos diz que, se os limites do numerador e do denominador dão ou , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite novamente.

Passo 4

Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador:
    Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar . A derivada de é , onde e .
  • Derivada do denominador:

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas na expressão do limite:
limx to 0 cos(x) - 2x cos(x^2)1 - 2x
Vamos calcular limitando 1 - 01 - 0 = 11 = 1 para 0:
  • no denominador, quando vai para 0, fica 1.
Substituindo:

Resposta

O limite é igual a .

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