Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite quando
se aproxima de 0 para a expressão
. Isso envolve conhecimentos de limites e, possivelmente, a regra de L’Hôpital. Vamos precisar usar propriedades de funções trigonométricas e regras de derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos
diretamente na expressão.
Esse resultado é uma forma indeterminada (
), o que significa que precisamos de uma técnica para resolver.
Passo 3
Quando encontramos uma forma indeterminada como
, uma ferramenta poderosa é a Regra de L’Hôpital. Ela nos diz que, se os limites do numerador e do denominador dão
ou
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite novamente.
Passo 4
Vamos derivar o numerador e o denominador:
-
Derivada do numerador:Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar
. A derivada de é , onde e . -
Derivada do denominador:
Passo 5
Agora, substituímos essas derivadas na expressão do limite:
Vamos calcular limitando
para 0:
-
-
-
no denominador, quando vai para 0, fica 1.
Substituindo:
Resposta
O limite é igual a
.