lim x 0 3^m x-13^n x-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x 0 3^m x-13^n x-1. Esse exercício está relacionado ao estudo de limites, especificamente envolvendo funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções exponenciais se comportam quando a variável se aproxima de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando a^kx approx 1 + kx ln(a) está próximo de zero, podemos usar a aproximação de 3^mx approx 1 + mx ln(3) para pequenas 3^nx approx 1 + nx ln(3) . A aproximação é:
No nosso caso, , então temos:

Passo 3

Agora, vamos substituir essas aproximações na expressão do limite:
3^m x-13^n x-1 approx (1 + m x ln(3)) - 1(1 + n x ln(3)) - 1 = m x ln(3)n x ln(3)

Passo 4

Observa que o termo m x ln(3)n x ln(3) = mn aparece tanto no numerador quanto no denominador, então podemos simplificar:

Resposta

O limite é igual a .

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