Utilize o Princípio de Indução Finita para provar os itens abaixo: sumi=1^n-1 i(i+1)=n(n-1)(n+1)3, n >= 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de matemática que pede para provar uma soma usando o Princípio de Indução Matemática. A soma que precisamos provar é:
sumi=1^n-1 i(i+1) = n(n-1)(n+1)3, n >= 2
Para isso, vamos precisar entender como funciona a indução matemática, que é uma técnica para provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais a partir de um certo ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para o caso base, ou seja, para sumi=1^2-1 i(i+1) = sumi=1^1 i(i+1) = 1 times (1+1) = 2 .
Calculando a soma:
2(2-1)(2+1)3 = 2 times 1 times 33 = 63 = 2
Agora, calculando o lado direito da igualdade com :
Como os dois lados são iguais, a afirmação é verdadeira para .

Passo 3

Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum número natural sumi=1^k-1 i(i+1) = k(k-1)(k+1)3 . Esse é o nosso passo de indução. Ou seja, vamos supor que:
Essa suposição nos ajuda a provar que a afirmação também é verdadeira para .

Passo 4

Vamos provar para sumi=1^(k+1)-1 i(i+1) = sumi=1^k i(i+1) . Primeiro, montamos a soma para sumi=1^k i(i+1) = ( sumi=1^k-1 i(i+1) ) + k(k+1) :
sumi=1^k-1 i(i+1) = k(k-1)(k+1)3
Podemos separar essa soma:
sumi=1^k i(i+1) = k(k-1)(k+1)3 + k(k+1)
Pela nossa hipótese de indução, sabemos que:
Então substituímos na expressão:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão:
k(k-1)(k+1)3 + k(k+1) = k(k-1)(k+1) + 3k(k+1)3
Fatorando k(k+1)[(k-1) + 3]3 = k(k+1)(k + 2)3 :
(k+1)k(k+2)3 = (k+1)((k+1)-1)((k+1)+1)3
Observamos que , então podemos reescrever:
Isso mostra que a fórmula funciona para .

Resposta

Assim, pelo Princípio de Indução Matemática, a igualdade
sumi=1^n-1 i(i+1) = n(n-1)(n+1)3, n >= 2
é verdadeira para todo natural maior ou igual a 2.

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