Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o limite quando
se aproxima de 1 da expressão
. Aqui, estamos lidando com funções envolvendo raízes quadradas e cúbicas, que fazem parte do estudo de limites em Cálculo.
Passo 2
Vamos começar substituindo
diretamente na expressão para ver se conseguimos resolver de forma simples:
Como obtemos uma indeterminação
, precisamos simplificar a expressão para resolver o limite.
Passo 3
Vamos simplificar o numerador e o denominador separadamente usando técnicas de álgebra. No numerador, temos
. Podemos racionalizar multiplicando e dividindo por
:
Passo 4
Agora, vamos olhar para o denominador:
. Podemos reescrever
como
. Quando
se aproxima de 1,
se aproxima de -1, e
se aproxima de
. Portanto, o denominador
se aproxima de 0.
Passo 5
Agora, substituímos as simplificações na expressão original:
Passo 6
Agora, percebemos que tanto o numerador quanto o denominador têm o fator
. Precisamos encontrar uma maneira de cancelar esse fator. Observando que
está se aproximando de 1, podemos usar uma substituição: deixe
, então quando
,
. Substituindo na expressão:
Simplificando mais:
Passo 7
Agora, quando
,
usando uma aproximação de Taylor, e
. Substituindo essas aproximações:
Simplificando: