lim x 1 raiz5 x+4-3raiz[3]x-2+1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o limite quando se aproxima de 1 da expressão . Aqui, estamos lidando com funções envolvendo raízes quadradas e cúbicas, que fazem parte do estudo de limites em Cálculo.

Passo 2

Vamos começar substituindo raiz5(1) + 4 - 3raiz[3]1 - 2 + 1 = raiz9 - 3raiz[3]-1 + 1 = 3 - 3-1 + 1 = 00 diretamente na expressão para ver se conseguimos resolver de forma simples:
Como obtemos uma indeterminação , precisamos simplificar a expressão para resolver o limite.

Passo 3

Vamos simplificar o numerador e o denominador separadamente usando técnicas de álgebra. No numerador, temos raiz5x + 4 - 3 = (raiz5x + 4 - 3)(raiz5x + 4 + 3)raiz5x + 4 + 3 = (5x + 4) - 9raiz5x + 4 + 3 = 5x - 5raiz5x + 4 + 3 = 5(x - 1)raiz5x + 4 + 3 . Podemos racionalizar multiplicando e dividindo por :

Passo 4

Agora, vamos olhar para o denominador: . Podemos reescrever como . Quando se aproxima de 1, se aproxima de -1, e se aproxima de . Portanto, o denominador se aproxima de 0.

Passo 5

Agora, substituímos as simplificações na expressão original:
limx to 1 raiz5x + 4 - 3raiz[3]x - 2 + 1 = limx to 1 5(x - 1)raiz5x + 4 + 3raiz[3]x - 2 + 1 = limx to 1 5(x - 1)(raiz5x + 4 + 3)(raiz[3]x - 2 + 1)

Passo 6

Agora, percebemos que tanto o numerador quanto o denominador têm o fator 5h(raiz5(1 + h) + 4 + 3)(raiz[3](1 + h) - 2 + 1) = 5h(raiz5 + 5h + 4 + 3)(raiz[3]-1 + h + 1) . Precisamos encontrar uma maneira de cancelar esse fator. Observando que 5h(raiz9 + 5h + 3)(raiz[3]-1 + h + 1) está se aproximando de 1, podemos usar uma substituição: deixe , então quando , . Substituindo na expressão:
Simplificando mais:

Passo 7

Agora, quando 5h(3 + 5h6 + 3)(-1 + h3 + 1) = 5h(6 + 5h6)(h3) , 5h6 cdot h3 = 5h2h = 52 usando uma aproximação de Taylor, e . Substituindo essas aproximações:
Simplificando:

Resposta

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