Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos o limite quando
se aproxima de 2 da expressão
. Aqui estamos trabalhando com limites de funções, um conceito fundamental no cálculo que nos ajuda a entender o comportamento de uma função perto de um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas técnicas de álgebra, como a racionalização, que nos ajuda a simplificar expressões que envolvem raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na expressão para ver se conseguimos calcular o limite facilmente:
Obtemos uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos manipular a expressão para resolver o limite.
Passo 3
Para resolver essa indeterminação, vamos racionalizar o denominador. A racionalização consiste em multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada do denominador. O conjugado de
é
. Então, multiplicamos a fração por
:
Passo 4
Vamos multiplicar os numeradores e os denominadores:
Numerador:
Denominador:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Agora, observamos que ainda pode ser complicado calcular o limite diretamente. Vamos tentar fatorar o numerador para simplificar. Notamos que
é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada:
Então, podemos reescrever o numerador:
Assim, a expressão completa fica:
Passo 6
Agora, podemos cancelar o fator
no numerador e no denominador:
Passo 7
Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite substituindo
:
Resposta
O limite é igual a 6.