lim x 2 x raizx-2 raiz2raizx-raiz2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos o limite quando se aproxima de 2 da expressão . Aqui estamos trabalhando com limites de funções, um conceito fundamental no cálculo que nos ajuda a entender o comportamento de uma função perto de um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas técnicas de álgebra, como a racionalização, que nos ajuda a simplificar expressões que envolvem raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir 2 raiz2 - 2 raiz2raiz2 - raiz2 = 00 diretamente na expressão para ver se conseguimos calcular o limite facilmente:
Obtemos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos manipular a expressão para resolver o limite.

Passo 3

Para resolver essa indeterminação, vamos racionalizar o denominador. A racionalização consiste em multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada do denominador. O conjugado de x raizx - 2 raiz2raizx - raiz2 times raizx + raiz2raizx + raiz2 é . Então, multiplicamos a fração por :

Passo 4

Vamos multiplicar os numeradores e os denominadores:
Numerador:
(x raizx - 2 raiz2) (raizx + raiz2) = x raizx cdot raizx + x raizx cdot raiz2 - 2 raiz2 cdot raizx - 2 raiz2 cdot raiz2
= x cdot x + x raiz2x - 2 raiz2x - 2 cdot 2
= x^2 + x raiz2x - 2 raiz2x - 4
Denominador:
(raizx - raiz2)(raizx + raiz2) = (raizx)^2 - (raiz2)^2 = x - 2
Então, a expressão fica:
x^2 + x raiz2x - 2 raiz2x - 4x - 2

Passo 5

Agora, observamos que ainda pode ser complicado calcular o limite diretamente. Vamos tentar fatorar o numerador para simplificar. Notamos que x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada:
(x - 2)(x + 2) + raiz2x(x - 2)
Então, podemos reescrever o numerador:
= (x - 2)(x + 2 + raiz2x)
(x - 2)(x + 2 + raiz2x)x - 2
Assim, a expressão completa fica:

Passo 6

Agora, podemos cancelar o fator (x - 2)(x + 2 + raiz2x)x - 2 = x + 2 + raiz2x no numerador e no denominador:

Passo 7

Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite substituindo 2 + 2 + raiz2 cdot 2 = 4 + raiz4 = 4 + 2 = 6 :

Resposta

O limite é igual a 6.

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