\lim _{x \rightarrow 15} \frac{|x-15|}{x+15}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to15}\frac{|x-15|}{x+15}.
Informações dadas:
  • A função é \dfrac{|x-15|}{x+15}.
  • O ponto onde o limite é tomado é x=15.
  • Não há imagem nem restrição adicional.

Passo 2

Calcular o limite do numerador. Considere a função f(x)=|x-15|.
  • Sabemos que a função valor absoluto é contínua em todo ponto real. Isso significa que, se \lim_{x\to a}g(x)=L existe, então \lim_{x\to a}|g(x)|=|L|.
  • Aqui g(x)=x-15 e \lim_{x\to15}g(x)=\lim_{x\to15}(x-15)=0.
    Portanto
\lim_{x\to15}|x-15|=\bigl|\lim_{x\to15}(x-15)\bigr|=|0|=0.

Passo 3

Calcular o limite do denominador. Considere h(x)=x+15.
  • A soma e a função identidade são contínuas, logo h é contínua.
  • Assim
\lim_{x\to15}(x+15)=15+15=30.
Observe que esse limite é diferente de zero ( 30\neq0).

Passo 4

Aplicar a regra do quociente de limites. A regra diz: se \lim_{x\to a}F(x)=A e \lim_{x\to a}G(x)=B com B\neq0, então
\lim_{x\to a}\frac{F(x)}{G(x)}=\frac{A}{B}.
Aqui F(x)=|x-15| com A=0 e G(x)=x+15 com B=30. Como B\neq0, vale
\lim_{x\to15}\frac{|x-15|}{x+15}=\frac{0}{30}=0.

Passo 5

Comentário intuitivo (ajuda para lembrar na prova). Perto de x=15 o numerador é muito pequeno (tende a 0) e o denominador tende a 30 (nunca fica nulo numa vizinhança de 15), então a razão tende a 0. Outra forma: para x suficientemente próximo de 15 tem-se x+15>15, então
0\le\frac{|x-15|}{x+15}\le\frac{|x-15|}{15},
e como o lado direito tende a 0, pela desigualdade (squeeze) a fração também tende a 0.

Resposta

0

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