In Exercises 35-38, solve the system using ei ther Gaussian elimination with back-substitution or Gauss-Jordan elimination.
\begin{aligned} 2 x+y-z+2 w= & -6 \\\\ 3 x+4 y+w= & 1 \\\ x+5 y+2 z+6 w= & -3 \\\\ 5 x+2 y-z-w= & 3 \end{aligned}

Passo 1

O sistema dado é (vou copiar exatamente as equações do enunciado para ficar tudo claro):
\begin{aligned} 2x+y-z+2w&=-6\\[4pt] 3x+4y+\;0z+w&=1\\[4pt] x+5y+2z+6w&=-3\\[4pt] 5x+2y-z-w&=3 \end{aligned}
O que o exercício pede é resolver o sistema, isto é, encontrar os valores de x,\;y,\;z,\;w que satisfazem simultaneamente as quatro equações acima.
As informações relevantes são as quatro equações lineares com quatro incógnitas x,y,z,w.]

Passo 2

Vou organizar o sistema em forma de matriz aumentada. Isso facilita aplicar operações elementares nas linhas (essas operações correspondem a somar múltiplos de uma equação em outra, trocar equações, ou multiplicar uma equação por escalar não nulo — tudo permitido).
A matriz aumentada é
\left(\begin{array}{cccc|c} 2 & 1 & -1 & 2 & -6\\[4pt] 3 & 4 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 5 & 2 & 6 & -3\\[4pt] 5 & 2 & -1 & -1 & 3 \end{array}\right).]

Passo 3

Uma boa prática é escolher uma linha com coeficiente 1 para x como primeira linha pivô, para simplificar cálculos. Aqui a terceira linha já tem coeficiente 1 em x. Troco a linha 1 com a linha 3: R_1\leftrightarrow R_3. A matriz fica
\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 5 & 2 & 6 & -3\\[4pt] 3 & 4 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 2 & 1 & -1 & 2 & -6\\[4pt] 5 & 2 & -1 & -1 & 3 \end{array}\right).
Explicação curta: trocar linhas é só reorganizar as equações; não altera o conjunto solução.]

Passo 4

Agora vou eliminar x nas linhas 2, 3 e 4 usando a primeira linha como pivô. Faço:
R_2 \leftarrow R_2-3R_1,
R_3 \leftarrow R_3-2R_1,
R_4 \leftarrow R_4-5R_1.
Calculemos cada nova linha:
Para R_2-3R_1:
\begin{aligned} 3-3\cdot1&=0,\\\\ 4-3\cdot5&=-11,\\\\ 0-3\cdot2&=-6,\\\\ 1-3\cdot6&=-17,\\\\ 1-3\cdot(-3)&=1+9=10. \end{aligned}
Então R_2=[0\\\ -11\\\ -6\\\ -17\\ |\\\ 10].
Para R_3-2R_1:
\begin{aligned} 2-2\cdot1&=0,\\\\ 1-2\cdot5&=-9,\\\\ -1-2\cdot2&=-5,\\\\ 2-2\cdot6&=-10,\\\\ -6-2\cdot(-3)&=-6+6=0. \end{aligned}
Então R_3=[0\\\ -9\\\ -5\\\ -10\\ |\\\ 0].
Para R_4-5R_1:
\begin{aligned} 5-5\cdot1&=0,\\\\ 2-5\cdot5&=-23,\\\\ -1-5\cdot2&=-11,\\\\ -1-5\cdot6&=-31,\\\\ 3-5\cdot(-3)&=3+15=18. \end{aligned}
Então R_4=[0\\\ -23\\\ -11\\\ -31\\ |\\\ 18].
A matriz fica
\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 5 & 2 & 6 & -3\\[4pt] 0 & -11 & -6 & -17 & 10\\[4pt] 0 & -9 & -5 & -10 & 0\\[4pt] 0 & -23 & -11 & -31 & 18 \end{array}\right).]

Passo 5

Agora vamos pivotar na coluna de y. Para facilitar, troco R_2 com R_3 porque R_3 tem coeficiente -9 (um pouco menor em magnitude) — isso é apenas uma escolha para simplificar cálculos:
R_2\leftrightarrow R_3. A matriz passa a ser
\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 5 & 2 & 6 & -3\\[4pt] 0 & -9 & -5 & -10 & 0\\[4pt] 0 & -11 & -6 & -17 & 10\\[4pt] 0 & -23 & -11 & -31 & 18 \end{array}\right).
Agora eu normalizo a linha pivô R_2 dividindo por -9 para obter 1 no pivô de y:
R_2\leftarrow R_2/(-9). Isso dá
R_2 = \left[0\\\ 1\\ \tfrac{5}{9}\\ \tfrac{10}{9}\\ |\\\ 0\right].
Explicação rápida: ter 1 na posição pivô facilita zerar os outros elementos da coluna com somas inteiras de linhas.]

Passo 6

Elimino y nas linhas 3 e 4 usando R_2 (que agora tem 1 em y):
Faço R_3\leftarrow R_3+11R_2 (porque R_3 tem -11 em y) e R_4\leftarrow R_4+23R_2.
Calculemos:
Para R_3+11R_2:
\begin{aligned} \text{col }z:&\\\ -6 + 11\cdot\frac{5}{9} = -6 + \frac{55}{9} = \frac{-54+55}{9}=\frac{1}{9},\\[4pt] \text{col }w:&\\\ -17 + 11\cdot\frac{10}{9} = -17 + \frac{110}{9} = \frac{-153+110}{9}=\frac{-43}{9},\\[4pt] \text{rhs}:&\\\ 10 + 11\cdot 0 = 10. \end{aligned}
Logo R_3=[0\\\ 0\\ \tfrac{1}{9}\\ \tfrac{-43}{9}\\ |\\\ 10].
Para R_4+23R_2:
\begin{aligned} \text{col }z:&\\\ -11 + 23\cdot\frac{5}{9} = -11 + \frac{115}{9} = \frac{-99+115}{9}=\frac{16}{9},\\[4pt] \text{col }w:&\\\ -31 + 23\cdot\frac{10}{9} = -31 + \frac{230}{9} = \frac{-279+230}{9}=\frac{-49}{9},\\[4pt] \text{rhs}:&\\\ 18 + 23\cdot 0 =18. \end{aligned}
Então R_4=[0\\\ 0\\ \tfrac{16}{9}\\ \tfrac{-49}{9}\\ |\\\ 18].
A matriz atual é
\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 5 & 2 & 6 & -3\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{5}{9} & \tfrac{10}{9} & 0\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{1}{9} & \tfrac{-43}{9} & 10\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{16}{9} & \tfrac{-49}{9} & 18 \end{array}\right).]

Passo 7

Agora foco na coluna de z. Para eliminar frações e simplificar, multiplico R_3 por 9: R_3\leftarrow 9R_3. Isso dá
R_3 = [0\\\ 0\\\ 1\\\ -43\\ |\\\ 90].
Também multiplico R_4 por 9 para ficar com inteiros: R_4\leftarrow 9R_4, obtendo
R_4 = [0\\\ 0\\\ 16\\\ -49\\ |\\\ 162].
Agora uso R_3 (que tem 1 em z) para zerar o coeficiente de z em R_4: faço R_4\leftarrow R_4-16R_3.
Calculando:
\begin{aligned} \text{col }z:&\\\ 16-16\cdot1=0,\\[4pt] \text{col }w:&\\\ -49-16\cdot(-43)=-49+688=639,\\[4pt] \text{rhs}:&\\\ 162-16\cdot90=162-1440=-1278. \end{aligned}
Então R_4=[0\\\ 0\\\ 0\\\ 639\\ |\\\ -1278].]

Passo 8

Simplifico R_4. Observando que 639 e -1278 têm fator comum 639 (pois -1278=-2\cdot639), divido a linha por 639:
R_4\leftarrow R_4/639. Isso dá
R_4=[0\\\ 0\\\ 0\\\ 1\\ |\\\ -2].
Isto significa diretamente que
w=-2.
Nota didática: dividir uma linha por escalar não nulo equivale a isolar a incógnita daquela equação.

Passo 9

Agora faço substituições regressivas (back-substitution), usando R_3 e R_2 e R_1 na ordem para encontrar z,\;y,\;x.
A partir de R_3 que é [0\\\ 0\\\ 1\\\ -43\\ |\\\ 90], a equação é
z-43w=90.
Substituindo w=-2,
z-43\cdot(-2)=90 \quad\Rightarrow\quad z+86=90 \quad\Rightarrow\quad z=4.
A partir de R_2 que é [0\\\ 1\\ \tfrac{5}{9}\\ \tfrac{10}{9}\\ |\\\ 0], a equação é
y+\tfrac{5}{9}z+\tfrac{10}{9}w=0.
Substituindo z=4 e w=-2:
y+\tfrac{5}{9}\cdot4+\tfrac{10}{9}\cdot(-2)=y+\tfrac{20}{9}-\tfrac{20}{9}=y+0=0,
portanto
y=0.
Finalmente, da primeira linha original que agora está em forma de matriz R_1=[1\\\ 5\\\ 2\\\ 6\\ |\\\ -3], a equação é
x+5y+2z+6w=-3.
Substituindo y=0,\\ z=4,\\ w=-2:
x+5\cdot0+2\cdot4+6\cdot(-2)=x+8-12=x-4=-3,
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x=1.

Resposta

x=1
y=0
z=4
w=-2

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