\lim _{x \rightarrow 0}(1+x)^{1 / \sin x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando x tende a zero:
\lim_{x\to 0} (1+x)^{1/\sin x}.
Informações dadas: a expressão é (1+x)^{1/\sin x} e o ponto de interesse é x\to 0. Há uma imagem anexada, mas eu não usei nenhum dado da imagem porque ela não é necessária para resolver esse limite.

Passo 2

Primeiro passo de ideia: quando temos uma potência onde a base tende a 1 e o expoente tende a infinito (ou algo que explode), um truque eficiente é aplicar o logaritmo natural para transformar a potência em produto. Vou fazer isso com cuidado e explicar por que é válido. Defina
y=(1+x)^{1/\sin x}.
Como (1+x)>0 perto de x=0, \ln está bem definida e é contínua; então podemos estudar \ln y e depois retornar a y exponenciando. Tomando logaritmo:
\ln y=\frac{\ln(1+x)}{\sin x}.
Nosso objetivo agora é calcular \displaystyle\lim_{x\to 0}\ln y=\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{\sin x}.

Passo 3

Observação sobre a forma do limite de \ln y: quando x\to 0 temos \ln(1+x)\to 0 e \sin x\to 0, então a expressão é uma indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}. Há várias maneiras básicas de lidar com isso: (A) série/aproximação de primeira ordem ( \ln(1+x)\sim x, \sin x\sim x); (B) usar o L’Hôpital; (C) usar limites padrões como \lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1 e \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1. Vou aplicar L’Hôpital porque é direto e formal, e depois mostro uma solução alternativa mais rápida com equivalências.

Passo 4

Aplicando a regra de L’Hôpital: como temos forma \tfrac{0}{0}, derivamos numerador e denominador em relação a x. Derivada do numerador \ln(1+x) é \dfrac{1}{1+x}. Derivada do denominador \sin x é \cos x. Assim
\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{\sin x} =\lim_{x\to 0}\frac{\dfrac{1}{1+x}}{\cos x} =\lim_{x\to 0}\frac{1}{(1+x)\cos x}.
Agora basta avaliar no ponto x=0:
\frac{1}{(1+0)\cos 0}=\frac{1}{1\cdot 1}=1.
Portanto \displaystyle\lim_{x\to 0}\ln y=1.

Passo 5

Voltando para y: sabemos que y=\exp(\ln y). Como a função exponencial é contínua, o limite de y é o exponencial do limite de \ln y. Assim
\lim_{x\to 0} y = \exp\!\bigg(\lim_{x\to 0}\ln y\bigg)=\exp(1)=e.
Logo o limite pedido é e.

Passo 6

Método alternativo (útil em prova): usar a factorização com o limite clássico \lim_{u\to 0}(1+u)^{1/u}=e. Escrevemos
(1+x)^{1/\sin x}=\bigl((1+x)^{1/x}\bigr)^{x/\sin x}.
Quando x\to 0, sabemos que \displaystyle(1+x)^{1/x}\to e e que \displaystyle\frac{x}{\sin x}\to 1. Então a expressão tende a e^{1}=e. Esse método usa dois limites padrão que costumam ser memorizados e é bem rápido na hora da prova.

Passo 7

Resumo das fórmulas e dicas práticas para prova (pequena “aula” consolidando ideias):
  • Limites úteis quando t\to 0: \lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1,\qquad \lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1,\qquad \lim_{t\to 0}(1+t)^{1/t}=e.
  • Para potências do tipo (1+\text{pequeno})^{\text{grande}}, use \ln e transforme em produto; depois calcule o limite e exponencie.
  • Pequeno exemplo extra: calcule \displaystyle\lim_{x\to 0}(1+2x)^{1/\sin x}. Pelo mesmo raciocínio, \ln y=\dfrac{\ln(1+2x)}{\sin x}\sim \dfrac{2x}{x}=2, então o limite é e^{2}.

Resposta

e

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