Passo 1
O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando
tende a zero:
Informações dadas: a expressão é
e o ponto de interesse é
. Há uma imagem anexada, mas eu não usei nenhum dado da imagem porque ela não é necessária para resolver esse limite.
Passo 2
Primeiro passo de ideia: quando temos uma potência onde a base tende a
e o expoente tende a infinito (ou algo que explode), um truque eficiente é aplicar o logaritmo natural para transformar a potência em produto. Vou fazer isso com cuidado e explicar por que é válido. Defina
Como
perto de
,
está bem definida e é contínua; então podemos estudar
e depois retornar a
exponenciando. Tomando logaritmo:
Nosso objetivo agora é calcular
.
Passo 3
Observação sobre a forma do limite de
: quando
temos
e
, então a expressão é uma indeterminação do tipo
. Há várias maneiras básicas de lidar com isso: (A) série/aproximação de primeira ordem (
,
); (B) usar o L’Hôpital; (C) usar limites padrões como
e
. Vou aplicar L’Hôpital porque é direto e formal, e depois mostro uma solução alternativa mais rápida com equivalências.
Passo 4
Aplicando a regra de L’Hôpital: como temos forma
, derivamos numerador e denominador em relação a
. Derivada do numerador
é
. Derivada do denominador
é
. Assim
Agora basta avaliar no ponto
:
Portanto
.
Passo 5
Voltando para
: sabemos que
. Como a função exponencial é contínua, o limite de
é o exponencial do limite de
. Assim
Logo o limite pedido é
.
Passo 6
Método alternativo (útil em prova): usar a factorização com o limite clássico
. Escrevemos
Quando
, sabemos que
e que
. Então a expressão tende a
. Esse método usa dois limites padrão que costumam ser memorizados e é bem rápido na hora da prova.
Passo 7
Resumo das fórmulas e dicas práticas para prova (pequena “aula” consolidando ideias):
- Limites úteis quando
: - Para potências do tipo
, use e transforme em produto; depois calcule o limite e exponencie. - Pequeno exemplo extra: calcule
. Pelo mesmo raciocínio, , então o limite é .