\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{2 x^{2}+3 x+1}{x^{2}+5}

Passo 1

O enunciado pede calcular o valor do limite
\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^{2}+3x+1}{x^{2}+5}.
Informações dadas: o numerador é o polinômio \,2x^{2}+3x+1, e o denominador é o polinômio \,x^{2}+5. Queremos o comportamento da razão quando x cresce sem limite para +\infty.

Passo 2

Uma técnica padrão para limites de quocientes de polinômios é dividir numerador e denominador pela maior potência de x que aparece (aqui é \,x^{2}). Vamos fazer isso para escrever a expressão de forma que dê para ver os termos que vão a zero quando x\to+\infty. Temos:
\frac{2x^{2}+3x+1}{x^{2}+5} = \frac{x^{2}\!\left(2+\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}\right)}{x^{2}\!\left(1+\dfrac{5}{x^{2}}\right)} = \frac{2+\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}{1+\dfrac{5}{x^{2}}}.
Expliquei cada passo: fatorizei \,x^{2} do numerador e do denominador e cancelei o fator comum \,x^{2}.

Passo 3

Agora analisamos os termos com \,x no denominador. Lembre que quando x\to+\infty vale:
\frac{3}{x}\to 0,\qquad \frac{1}{x^{2}}\to 0,\qquad \frac{5}{x^{2}}\to 0.
Intuitivamente, números constantes divididos por x ou por x^{2} ficam cada vez menores quando x fica muito grande; formalmente isso decorre da propriedade \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0 e operações com potências.

Passo 4

Aplicando a passagem ao limite na expressão obtida no Passo 2 e usando as propriedades de limites (limite de soma e limite de quociente, desde que o limite do denominador seja diferente de zero), temos:
\lim_{x\to+\infty}\frac{2+\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}{1+\dfrac{5}{x^{2}}} = \frac{\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\!\left(2+\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}\right)}{\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\!\left(1+\dfrac{5}{x^{2}}\right)} = \frac{2+0+0}{1+0}=\frac{2}{1}=2.
Justifiquei: o limite do numerador é 2 e o do denominador é 1, logo o quociente é 2.

Passo 5

Uma observação útil para prova e para exercícios semelhantes: quando se tem dois polinômios e os graus são iguais (aqui ambos têm grau 2), o limite quando x\to\pm\infty é simplesmente a razão dos coeficientes dos termos de maior grau (aqui \dfrac{2}{1}=2). Isso poupa trabalho em muitos casos. Um exemplo rápido: \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{4x^{3}+x}{2x^{3}-5}=\frac{4}{2}=2.

Resposta

2

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