Passo 1
O enunciado pede calcular o valor do limite
Informações dadas: o numerador é o polinômio
, e o denominador é o polinômio
. Queremos o comportamento da razão quando
cresce sem limite para
.
Passo 2
Uma técnica padrão para limites de quocientes de polinômios é dividir numerador e denominador pela maior potência de
que aparece (aqui é
). Vamos fazer isso para escrever a expressão de forma que dê para ver os termos que vão a zero quando
. Temos:
Expliquei cada passo: fatorizei
do numerador e do denominador e cancelei o fator comum
.
Passo 3
Agora analisamos os termos com
no denominador. Lembre que quando
vale:
Intuitivamente, números constantes divididos por
ou por
ficam cada vez menores quando
fica muito grande; formalmente isso decorre da propriedade
e operações com potências.
Passo 4
Aplicando a passagem ao limite na expressão obtida no Passo 2 e usando as propriedades de limites (limite de soma e limite de quociente, desde que o limite do denominador seja diferente de zero), temos:
Justifiquei: o limite do numerador é
e o do denominador é
, logo o quociente é
.
Passo 5
Uma observação útil para prova e para exercícios semelhantes: quando se tem dois polinômios e os graus são iguais (aqui ambos têm grau
), o limite quando
é simplesmente a razão dos coeficientes dos termos de maior grau (aqui
). Isso poupa trabalho em muitos casos. Um exemplo rápido:
.