\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{\tan x}

Passo 1

O problema pede calcular o limite
\lim_{x\to 0^{+}} x^{\tan x}.
Informações dadas: a expressão é uma potência com base x (que tende a 0^{+}) e expoente \tan x (que tende a 0 quando x\to 0). A pergunta é: qual é o valor desse limite?

Passo 2

Identificamos a forma indeterminada: quando x\to 0^{+} temos base =x\to 0^{+}) e expoente =\tan x\to 0), então a expressão tem a forma 0^{0})), que é indeterminada. Isso significa que não podemos afirmar o valor do limite apenas olhando; precisamos transformar a expressão para avaliar o limite corretamente.

Passo 3

Técnica padrão para potências indeterminadas: tomar logaritmo. Seja
y = x^{\tan x}.
Tomando logaritmo natural,
\ln y = \tan x \cdot \ln x.
Se conseguirmos \lim_{x\to 0^{+}} \ln y, então o limite pedido será \exp desse limite, pois a função exponencial é contínua.

Passo 4

Vamos calcular
L:=\lim_{x\to 0^{+}} \tan x \cdot \ln x.
Escrevemos \tan x = x\cdot\frac{\tan x}{x}, assim
\tan x\cdot\ln x = \frac{\tan x}{x}\cdot(x\ln x).
Se conseguirmos os limites de \frac{\tan x}{x} e de x\ln x, podemos multiplicá-los (um tende a um número finito, o outro tende a zero).

Passo 5

Calculemos \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}. Usamos que \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1 e que \cos x\to 1. Como \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}, temos
\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1}{\cos x}=1\cdot 1 = 1.

Passo 6

Agora calculemos \displaystyle\lim_{x\to 0^{+}} x\ln x. Uma forma prática é reescrever
x\ln x = \frac{\ln x}{1/x},
onde, ao x\to 0^{+}, o numerador \ln x\to -\infty e o denominador 1/x\to +\infty, forma \frac{-\infty}{+\infty}. Aplicamos a regra de L’Hôpital: derivando numerador e denominador em relação a x,
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\ln x}{1/x} = \lim_{x\to 0^{+}}\frac{1/x}{-1/x^{2}} = \lim_{x\to 0^{+}}(-x) = 0.
Portanto \displaystyle\lim_{x\to 0^{+}} x\ln x = 0. Observação de sinal: como \ln x<0 perto de 0^{+} e x>0, o produto é negativo, logo tende a 0^{-}, mas o valor limite é 0.

Passo 7

Voltando a L:
L = \lim_{x\to 0^{+}}\frac{\tan x}{x}\cdot(x\ln x) = \left(\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}\right)\cdot\left(\lim_{x\to 0^{+}}x\ln x\right)=1\cdot 0 = 0.
Logo \displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\ln y = 0. Aplicando exponencial:
\lim_{x\to 0^{+}} y = \lim_{x\to 0^{+}} e^{\ln y} = e^{0} = 1.

Resposta

1

Exercícios relacionados