Passo 1
O problema pede calcular o limite
Informações dadas: a expressão é uma potência com base
(que tende a
) e expoente
(que tende a
quando
). A pergunta é: qual é o valor desse limite?
Passo 2
Identificamos a forma indeterminada: quando
temos
base
) e
expoente
), então a expressão tem a forma
0^{0})), que é indeterminada. Isso significa que não podemos afirmar o valor do limite apenas olhando; precisamos transformar a expressão para avaliar o limite corretamente.
Passo 3
Técnica padrão para potências indeterminadas: tomar logaritmo. Seja
Tomando logaritmo natural,
Se conseguirmos
, então o limite pedido será
desse limite, pois a função exponencial é contínua.
Passo 4
Vamos calcular
Escrevemos
, assim
Se conseguirmos os limites de
e de
, podemos multiplicá-los (um tende a um número finito, o outro tende a zero).
Passo 5
Calculemos
. Usamos que
e que
. Como
, temos
Passo 6
Agora calculemos
. Uma forma prática é reescrever
onde, ao
, o numerador
e o denominador
, forma
. Aplicamos a regra de L’Hôpital: derivando numerador e denominador em relação a
,
Portanto
. Observação de sinal: como
perto de
e
, o produto é negativo, logo tende a
, mas o valor limite é
.
Passo 7
Voltando a
:
Logo
. Aplicando exponencial: