Se
, o que podemos afirmar sobre
e sobre a continuidade de
em
?
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
-
. -
. - Está indicado que
.
O que é pedido:
- O que podemos afirmar sobre
. - O que podemos afirmar sobre a continuidade de
em .
Passo 2
Lembrete didático: o que significam essas coisas (definições que vamos usar).
- A definição informal de limite lateral esquerdo: dizer
significa que, ao aproximar de vindo pela esquerda (valores ), os valores se aproximam de . - A definição informal de limite lateral direito: dizer
significa que, ao aproximar de vindo pela direita (valores ), os valores se aproximam de . - A definição de limite bilateral:
existe exatamente quando os dois limites laterais existem e são iguais; isto é,
- A definição de continuidade em
: é contínua em se, e somente se,
Passo 3
Usando as definições, mostro por contradição que
não existe.
- Suponha, para contradizer, que exista
. - Pela equivalência acima, isso obrigaria
- Mas o enunciado afirma que
e com . Logo não pode ocorrer que ambos sejam iguais a um mesmo . - Portanto a suposição de existência de
leva a contradição; concluímos que
Passo 4
Consequência para continuidade em
.
- Pela definição de continuidade, para
ser contínua em é necessário que exista e seja igual a . - Já vimos que
não existe. Logo a condição essencial para continuidade falha. - Portanto
não é contínua em .
Passo 5
Classificação do tipo de descontinuidade (para fixar a intuição).
- Quando os dois limites laterais existem mas são diferentes (
), diz-se que tem uma descontinuidade do tipo salto (ou descontinuidade de primeira espécie) em . - Isso significa que o gráfico de
“salta” de um valor próximo de (pela esquerda) para um valor próximo de (pela direita) ao passar por .
Passo 6
Um exemplo concreto (bem comum em provas) para ilustrar:
- Considere a função degrau de Heaviside deslocada:
- Aqui
e , com . Então não existe e não é contínua em ; é uma descontinuidade por salto.]