Se
\lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)=L_{1} \quad \text { e } \quad \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=L_{2}
\operatorname{com} L_{1} \neq L_{2}, o que podemos afirmar sobre \lim _{x \rightarrow a} f(x) e sobre a continuidade de f em a ?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • \displaystyle \lim_{x\to a^-} f(x)=L_{1}.
  • \displaystyle \lim_{x\to a^+} f(x)=L_{2}.
  • Está indicado que \displaystyle L_{1}\neq L_{2}.
O que é pedido:
  • O que podemos afirmar sobre \displaystyle \lim_{x\to a} f(x).
  • O que podemos afirmar sobre a continuidade de f em a.

Passo 2

Lembrete didático: o que significam essas coisas (definições que vamos usar).
  • A definição informal de limite lateral esquerdo: dizer \displaystyle \lim_{x\to a^-} f(x)=L_{1} significa que, ao aproximar x de a vindo pela esquerda (valores x<a), os valores f(x) se aproximam de L_{1}.
  • A definição informal de limite lateral direito: dizer \displaystyle \lim_{x\to a^+} f(x)=L_{2} significa que, ao aproximar x de a vindo pela direita (valores x>a), os valores f(x) se aproximam de L_{2}.
  • A definição de limite bilateral: \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=L existe exatamente quando os dois limites laterais existem e são iguais; isto é,
\lim_{x\to a} f(x)=L \quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{x\to a^-} f(x)=L \\ \text{e}\\ \lim_{x\to a^+} f(x)=L.
  • A definição de continuidade em a: f é contínua em a se, e somente se,
\lim_{x\to a} f(x)\\ \text{existe e}\\ \lim_{x\to a} f(x)=f(a).

Passo 3

Usando as definições, mostro por contradição que \displaystyle \lim_{x\to a} f(x) não existe.
  • Suponha, para contradizer, que exista \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=L.
  • Pela equivalência acima, isso obrigaria
\lim_{x\to a^-} f(x)=L \quad\text{e}\quad \lim_{x\to a^+} f(x)=L.
  • Mas o enunciado afirma que \displaystyle \lim_{x\to a^-} f(x)=L_{1} e \displaystyle \lim_{x\to a^+} f(x)=L_{2} com \displaystyle L_{1}\neq L_{2}. Logo não pode ocorrer que ambos sejam iguais a um mesmo L.
  • Portanto a suposição de existência de \displaystyle \lim_{x\to a} f(x) leva a contradição; concluímos que
\lim_{x\to a} f(x)\\ \text{não existe}.ã

Passo 4

Consequência para continuidade em a.
  • Pela definição de continuidade, para f ser contínua em a é necessário que \displaystyle \lim_{x\to a} f(x) exista e seja igual a f(a).
  • Já vimos que \displaystyle \lim_{x\to a} f(x) não existe. Logo a condição essencial para continuidade falha.
  • Portanto f não é contínua em a.

Passo 5

Classificação do tipo de descontinuidade (para fixar a intuição).
  • Quando os dois limites laterais existem mas são diferentes ( L_{1}\neq L_{2}), diz-se que f tem uma descontinuidade do tipo salto (ou descontinuidade de primeira espécie) em a.
  • Isso significa que o gráfico de f “salta” de um valor próximo de L_{1} (pela esquerda) para um valor próximo de L_{2} (pela direita) ao passar por x=a.

Passo 6

Um exemplo concreto (bem comum em provas) para ilustrar:
  • Considere a função degrau de Heaviside deslocada:
f(x)=\begin{cases} 0, & x<a,\\[4pt] 1, & x\ge a. \end{cases}
  • Aqui \displaystyle \lim_{x\to a^-} f(x)=0 e \displaystyle \lim_{x\to a^+} f(x)=1, com 0\neq1. Então \displaystyle \lim_{x\to a} f(x) não existe e f não é contínua em a; é uma descontinuidade por salto.]

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to a} f(x) não existe.
f não é contínua em a (trata‑se de uma descontinuidade por salto, pois \displaystyle L_{1}\neq L_{2}).

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