Se
, o que você pode dizer sobre
? Explique
Passo 1
O enunciado dá a informação
A pergunta é: o que se pode dizer sobre
a partir dessa informação?
Passo 2
Vamos lembrar o que significa a afirmação sobre o limite, de forma precisa. Em termos
-
:
Explicando em palavras: para qualquer grau de precisão
que eu queira, existe uma vizinhança (tamanho
) ao redor de
tal que, para todo
diferente de
e dentro dessa vizinhança, o valor de
fica a uma distância menor que
de
. Ou seja, os valores de
quando
se aproxima de
(mas não igual a
) aproximam-se de
.
Passo 3
Repare num detalhe crucial da definição: há a condição
. O termo
exclui o ponto
. Isso quer dizer que a definição do limite só fala sobre o comportamento de
para pontos \emph{próximos} de
, mas \emph{distintos} de
. Portanto, a definição do limite não impõe nenhuma condição direta sobre o valor
.
Passo 4
Consequência direta do passo anterior: a existência de
não garante que
esteja definido, nem que, se definido, seja igual a
. Há três possibilidades compatíveis com
:
-
está definido e . Nesse caso é contínua em . -
está definido e . Nesse caso há uma descontinuidade removível (o limite existe, mas o valor no ponto é diferente). -
não está definido. Ainda assim o limite pode existir e valer .
Passo 5
Vamos ver exemplos simples (todos têm [\lim_{x\to3}f(x)=5)) para fixar a ideia.
Exemplo 1 — contínua no ponto:
Aqui
.
Exemplo 2 — limite existe, valor no ponto diferente:
Aqui
. Há descontinuidade em
(removível).
Exemplo 3 — valor no ponto não definido:
Aqui o limite existe e vale
não existe.]
Passo 6
Observação prática para prova: se o enunciado acrescentar alguma informação extra — por exemplo, que
é contínua em
ou que
está definido e igual a algo — aí sim dá para concluir que
. Sem essa informação extra, o único fato certo é que os valores de
quando
se aproxima de
tendem a
; nada mais pode ser afirmado sobre
em geral.
Passo 7
Resumo intuitivo e motivador: pense assim — o limite olha para o comportamento \emph{ao redor} de
, mas ignora exatamente o ponto
. Então o limite sendo
garante que os vizinhos de
“apontam” para
, mas o próprio
pode ser um vizinho obediente (
), um vizinho rebelde (
) ou pode nem existir. Isso é bastante comum; não tem problema — é só uma diferença entre comportamento limite e valor pontual. Vai dar tudo certo na prova!
Resposta
Nada garante que
. A informação
apenas diz que os valores
, para
próximos de
(com
), aproximam-se de
; entretanto
pode ser igual a
, pode ser diferente de
ou pode nem estar definido. Se houver a hipótese adicional de que
é contínua em
(ou que
está definido e igual a
), então
.