Se \lim _{x \rightarrow 3} f(x)=5, o que você pode dizer sobre f(3) ? Explique

Passo 1

O enunciado dá a informação
\lim_{x\to 3} f(x)=5.
A pergunta é: o que se pode dizer sobre f(3) a partir dessa informação?

Passo 2

Vamos lembrar o que significa a afirmação sobre o limite, de forma precisa. Em termos \varepsilon- \delta:
\lim_{x\to 3} f(x)=5 \iff \forall \varepsilon>0\\ \exists \delta>0\\ \text{ tal que }\\\ 0<|x-3|<\delta \Rightarrow |f(x)-5|<\varepsilon.
Explicando em palavras: para qualquer grau de precisão \varepsilon que eu queira, existe uma vizinhança (tamanho \delta) ao redor de x=3 tal que, para todo x diferente de 3 e dentro dessa vizinhança, o valor de f(x) fica a uma distância menor que \varepsilon de 5. Ou seja, os valores de f(x) quando x se aproxima de 3 (mas não igual a 3) aproximam-se de 5.

Passo 3

Repare num detalhe crucial da definição: há a condição 0<|x-3|<\delta. O termo 0< exclui o ponto x=3. Isso quer dizer que a definição do limite só fala sobre o comportamento de f(x) para pontos \emph{próximos} de 3, mas \emph{distintos} de 3. Portanto, a definição do limite não impõe nenhuma condição direta sobre o valor f(3).

Passo 4

Consequência direta do passo anterior: a existência de \lim_{x\to3} f(x)=5 não garante que f(3) esteja definido, nem que, se definido, seja igual a 5. Há três possibilidades compatíveis com \lim_{x\to3} f(x)=5:
  • f(3) está definido e f(3)=5. Nesse caso f é contínua em 3.
  • f(3) está definido e f(3)\neq5. Nesse caso há uma descontinuidade removível (o limite existe, mas o valor no ponto é diferente).
  • f(3) não está definido. Ainda assim o limite pode existir e valer 5.

Passo 5

Vamos ver exemplos simples (todos têm [\lim_{x\to3}f(x)=5)) para fixar a ideia.
Exemplo 1 — contínua no ponto:
f_1(x)=\begin{cases}5,& x\neq3,\\[4pt]5,& x=3.\end{cases}
Aqui f_1(3)=5\] e a função é contínua em \[3.
Exemplo 2 — limite existe, valor no ponto diferente:
f_2(x)=\begin{cases}5,& x\neq3,\\[4pt]7,& x=3.\end{cases}
Aqui \lim_{x\to3}f_2(x)=5\] mas \[f_2(3)=7. Há descontinuidade em 3 (removível).
Exemplo 3 — valor no ponto não definido:
f_3(x)=\begin{cases}5,& x\neq3,\\[4pt]\text{não definida},& x=3.\end{cases}ã
Aqui o limite existe e vale 5\], mas \(f_3(3) não existe.]

Passo 6

Observação prática para prova: se o enunciado acrescentar alguma informação extra — por exemplo, que f é contínua em 3 ou que f(3) está definido e igual a algo — aí sim dá para concluir que f(3)=5. Sem essa informação extra, o único fato certo é que os valores de f(x) quando x se aproxima de 3 tendem a 5; nada mais pode ser afirmado sobre f(3) em geral.

Passo 7

Resumo intuitivo e motivador: pense assim — o limite olha para o comportamento \emph{ao redor} de 3, mas ignora exatamente o ponto 3. Então o limite sendo 5 garante que os vizinhos de 3 “apontam” para 5, mas o próprio f(3) pode ser um vizinho obediente ( =5), um vizinho rebelde ( \neq5) ou pode nem existir. Isso é bastante comum; não tem problema — é só uma diferença entre comportamento limite e valor pontual. Vai dar tudo certo na prova!

Resposta

Nada garante que f(3)=5. A informação \lim_{x\to3}f(x)=5 apenas diz que os valores f(x), para x próximos de 3 (com x\neq3), aproximam-se de 5; entretanto f(3) pode ser igual a 5, pode ser diferente de 5 ou pode nem estar definido. Se houver a hipótese adicional de que f é contínua em 3 (ou que f(3) está definido e igual a 5), então f(3)=5.

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