(3-9)Calcule o limite justificando cada passagem com as Propriedades dos Limites que forem usadas.
Passo 1
O enunciado pede: “Calcule o limite justificando cada passagem com as Propriedades dos Limites que forem usadas.”
Informações fornecidas pelo enunciado: nenhuma expressão, função ou ponto de aproximação foi apresentada.
Pergunta explícita a responder: calcular o limite (mas não foi dada qual expressão limitar).
Informações fornecidas pelo enunciado: nenhuma expressão, função ou ponto de aproximação foi apresentada.
Pergunta explícita a responder: calcular o limite (mas não foi dada qual expressão limitar).
Passo 2
Como o enunciado não contém a expressão cuja limite devo calcular (por exemplo, algo como
ou
), não há dados suficientes para executar um cálculo específico nem para justificar passagens sobre essa expressão. Portanto não é possível obter um valor numérico ou simbólico do limite pedido sem que a função/ponto sejam fornecidos.
Passo 3
Para não te deixar na mão — já que você quer aprender a resolver limites na prova — vou explicar de forma prática e passo a passo as propriedades e técnicas mais importantes que costumam ser exigidas, sempre indicando qual Propriedade dos Limites está sendo usada. Assim, quando você tiver a expressão concreta, consegue aplicar diretamente.
Propriedades básicas (todas assumem que os limites à esquerda existem e são finitos, salvo indicação contrária):
- Soma e diferença:
Isto permite separar somas em dois limites mais simples.
- Produto por constante e produto:
- Quociente:
desde que
. Isso autoriza substituir limites individuais quando o denominador não anula o limite.
- Potências e raízes (continuidade de polinômios, potências):
See inteiro positivo,
Para raízes pares, exige-se
se for raiz real.
- Composição (continuidade de
em ):
See é contínua em , então
- Teorema do confronto (squeeze theorem):
Se paraperto de vale e
, então
- Limites no infinito e comparação de ordens (polinômios e potências):
Para racionalcom polinômios, comparar os graus. Ex.: se deg =deg , limite no infinito é razão dos coeficientes principais; se deg <deg , limite é ; se deg >deg , limite tem magnitude infinita.
Observação sobre indeterminações: formas como
e
são indeterminadas: então não se pode aplicar a propriedade do quociente diretamente — é preciso manipular algebricamente, usar fatoração, racionalização, teorema do confronto, expansão em série ou (se for permitido e souber) l’Hôpital (derivadas).
Passo 4
Exemplo prático 1 — aplicação direta de propriedades (caso simples, útil em prova):
Calcular .
Calcular
Justificativa passo a passo:
- Polinômios são funções contínuas; isso significa que
. - Pelo item (1) e (2) acima, podemos separar soma e constantes:
- Agora usar continuidade:
, , . - Portanto
Passo 5
Exemplo prático 2 — cancelamento de indeterminação por fatoração:
Calcular .
Calcular
Justificativa passo a passo:
- Substituir direto daria forma
(indeterminação), então precisamos manipular. - Fatorar o numerador:
. - Para
,
- Pelo item (3) e continuidade, o limite quando
da expressão original é igual ao limite de :
Neste raciocínio a justificativa usada foi: algebricamente eliminar o fator que causa a indeterminação e depois aplicar as propriedades de soma/contínuidade.
Passo 6
Exemplo prático 3 — limite no infinito com polinômios:
Calcular .
Calcular
Justificativa passo a passo:
- Dividir numerador e denominador por
(maior potência):
- Quando
, e . - Aplicando as propriedades de soma/quociente (itens 1 e 3) e continuidade,
Regra usada: comparar graus e dividir pelo maior grau simplifica o limite.
Passo 7
Dicas rápidas e checklist para a prova (metodologia prática):
- Tentar substituição direta. Se der número finito e bem definido, pronto — use continuidade (polinômios, exponencial, seno/cosseno em pontos adequados, etc.). Cite a propriedade de continuidade/composição.
- Se der
: tente fatorar, cancelar, racionalizar (quando há raízes), simplificar; depois aplicar propriedades do quociente. - Se der
: divida por maior potência, simplifique e use comparação de ordens. - Se aparecer formas como
, , etc., transforme para uma forma tratável (por exemplo, logaritmo para potências) e aplique propriedades. - Use o Teorema do Confronto quando puder encaixar entre duas funções cujo limite seja conhecido e igual.
- Use l’Hôpital somente se for permitido e se souber derivadas; sempre justifique aplicação verificando que a forma é indeterminada
ou .
Passo 8
Resumo final do raciocínio aplicado aqui: não há expressão fornecida no enunciado, portanto não há como calcular numericamente o limite pedido. Em vez disso, dei as propriedades essenciais e vários exemplos passo a passo — com essas ferramentas você consegue justificar cada passagem exigida pelo professor ao resolver qualquer limite concreto.
Resposta
Não é possível calcular o limite porque o enunciado não fornece a expressão (função e ponto) cujo limite deve ser calculado.