(3-9)Calcule o limite justificando cada passagem com as Propriedades dos Limites que forem usadas.

Passo 1

O enunciado pede: “Calcule o limite justificando cada passagem com as Propriedades dos Limites que forem usadas.”
Informações fornecidas pelo enunciado: nenhuma expressão, função ou ponto de aproximação foi apresentada.
Pergunta explícita a responder: calcular o limite (mas não foi dada qual expressão limitar).

Passo 2

Como o enunciado não contém a expressão cuja limite devo calcular (por exemplo, algo como \lim_{x\to a} f(x) ou \lim_{x\to\infty} g(x)), não há dados suficientes para executar um cálculo específico nem para justificar passagens sobre essa expressão. Portanto não é possível obter um valor numérico ou simbólico do limite pedido sem que a função/ponto sejam fornecidos.

Passo 3

Para não te deixar na mão — já que você quer aprender a resolver limites na prova — vou explicar de forma prática e passo a passo as propriedades e técnicas mais importantes que costumam ser exigidas, sempre indicando qual Propriedade dos Limites está sendo usada. Assim, quando você tiver a expressão concreta, consegue aplicar diretamente.
Propriedades básicas (todas assumem que os limites à esquerda existem e são finitos, salvo indicação contrária):
  1. Soma e diferença:
\lim_{x\to a} \big(f(x)+g(x)\big) = \lim_{x\to a} f(x) + \lim_{x\to a} g(x).
Isto permite separar somas em dois limites mais simples.
  1. Produto por constante e produto:
\lim_{x\to a} \big(c\cdot f(x)\big) = c\cdot \lim_{x\to a} f(x), \qquad \lim_{x\to a} \big(f(x)g(x)\big) = \lim_{x\to a} f(x)\cdot\lim_{x\to a} g(x).
  1. Quociente:
\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x\to a} f(x)}{\lim_{x\to a} g(x)},
desde que \lim_{x\to a} g(x)\neq 0. Isso autoriza substituir limites individuais quando o denominador não anula o limite.
  1. Potências e raízes (continuidade de polinômios, potências):
    Se \lim_{x\to a} f(x)=L e n inteiro positivo,
\lim_{x\to a} \big(f(x)\big)^n = L^n.
Para raízes pares, exige-se L\ge 0 se for raiz real.
  1. Composição (continuidade de g em L):
    Se \lim_{x\to a} f(x)=L e g é contínua em L, então
\lim_{x\to a} g\big(f(x)\big) = g\big(\lim_{x\to a} f(x)\big) = g(L).
  1. Teorema do confronto (squeeze theorem):
    Se para x perto de a vale h(x)\le f(x)\le k(x) e
    \lim_{x\to a} h(x)=\lim_{x\to a} k(x)=L, então
\lim_{x\to a} f(x)=L.
  1. Limites no infinito e comparação de ordens (polinômios e potências):
    Para racional \dfrac{p(x)}{q(x)} com polinômios, comparar os graus. Ex.: se deg p=deg q, limite no infinito é razão dos coeficientes principais; se deg p<deg q, limite é 0; se deg p>deg q, limite tem magnitude infinita.
Observação sobre indeterminações: formas como 0/0 e \infty/\infty são indeterminadas: então não se pode aplicar a propriedade do quociente diretamente — é preciso manipular algebricamente, usar fatoração, racionalização, teorema do confronto, expansão em série ou (se for permitido e souber) l’Hôpital (derivadas).

Passo 4

Exemplo prático 1 — aplicação direta de propriedades (caso simples, útil em prova):
Calcular \lim_{x\to 2} \big(3x^2 - x + 1\big).
Justificativa passo a passo:
  • Polinômios são funções contínuas; isso significa que \lim_{x\to a} P(x)=P(a).
  • Pelo item (1) e (2) acima, podemos separar soma e constantes:
\lim_{x\to 2} \big(3x^2 - x + 1\big) = 3\lim_{x\to 2} x^2 - \lim_{x\to 2} x + \lim_{x\to 2} 1.
  • Agora usar continuidade: \lim_{x\to 2} x^2 = 2^2, \lim_{x\to 2} x = 2, \lim_{x\to 2} 1 = 1.
  • Portanto
\lim_{x\to 2} \big(3x^2 - x + 1\big) = 3\cdot 4 - 2 + 1 = 12 - 2 + 1 = 11.

Passo 5

Exemplo prático 2 — cancelamento de indeterminação por fatoração:
Calcular \lim_{x\to 1} \dfrac{x^2-1}{x-1}.
Justificativa passo a passo:
  • Substituir direto daria forma 0/0 (indeterminação), então precisamos manipular.
  • Fatorar o numerador: x^2-1=(x-1)(x+1).
  • Para x\neq 1,
\frac{x^2-1}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1.
  • Pelo item (3) e continuidade, o limite quando x\to 1 da expressão original é igual ao limite de x+1:
\lim_{x\to 1} \frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x\to 1} (x+1) = 2.
Neste raciocínio a justificativa usada foi: algebricamente eliminar o fator que causa a indeterminação e depois aplicar as propriedades de soma/contínuidade.

Passo 6

Exemplo prático 3 — limite no infinito com polinômios:
Calcular \lim_{x\to\infty} \dfrac{2x^3+1}{x^3-4}.
Justificativa passo a passo:
  • Dividir numerador e denominador por x^3 (maior potência):
\frac{2x^3+1}{x^3-4} = \frac{2 + \dfrac{1}{x^3}}{1 - \dfrac{4}{x^3}}.
  • Quando x\to\infty, \dfrac{1}{x^3}\to 0 e \dfrac{4}{x^3}\to 0.
  • Aplicando as propriedades de soma/quociente (itens 1 e 3) e continuidade,
\lim_{x\to\infty} \frac{2 + \dfrac{1}{x^3}}{1 - \dfrac{4}{x^3}} = \frac{2+0}{1-0}=2.
Regra usada: comparar graus e dividir pelo maior grau simplifica o limite.

Passo 7

Dicas rápidas e checklist para a prova (metodologia prática):
  1. Tentar substituição direta. Se der número finito e bem definido, pronto — use continuidade (polinômios, exponencial, seno/cosseno em pontos adequados, etc.). Cite a propriedade de continuidade/composição.
  2. Se der 0/0: tente fatorar, cancelar, racionalizar (quando há raízes), simplificar; depois aplicar propriedades do quociente.
  3. Se der \infty/\infty: divida por maior potência, simplifique e use comparação de ordens.
  4. Se aparecer formas como 0\cdot\infty, 1^\infty, 0^0 etc., transforme para uma forma tratável (por exemplo, logaritmo para potências) e aplique propriedades.
  5. Use o Teorema do Confronto quando puder encaixar entre duas funções cujo limite seja conhecido e igual.
  6. Use l’Hôpital somente se for permitido e se souber derivadas; sempre justifique aplicação verificando que a forma é indeterminada 0/0 ou \infty/\infty.

Passo 8

Resumo final do raciocínio aplicado aqui: não há expressão fornecida no enunciado, portanto não há como calcular numericamente o limite pedido. Em vez disso, dei as propriedades essenciais e vários exemplos passo a passo — com essas ferramentas você consegue justificar cada passagem exigida pelo professor ao resolver qualquer limite concreto.

Resposta

Não é possível calcular o limite porque o enunciado não fornece a expressão (função e ponto) cujo limite deve ser calculado.

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