\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\arctan \left(\frac{1}{x}\right)-\frac{\pi}{2}}{x}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to0^{+}}\frac{\arctan\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)-\tfrac{\pi}{2}}{x}.
O conteúdo principal é manipular a função \arctan e usar o limite conhecido
\lim_{x\to0}\frac{\arctan(x)}{x}=1.

Passo 2

Para x>0 vale a identidade
\arctan\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)=\frac{\pi}{2}-\arctan(x).

Passo 3

Substituindo essa identidade no numerador, temos
\arctan\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)-\frac{\pi}{2} =\Bigl(\frac{\pi}{2}-\arctan(x)\Bigr)-\frac{\pi}{2} =-\arctan(x).

Passo 4

Logo o limite original fica
\lim_{x\to0^{+}}\frac{-\arctan(x)}{x} =-\lim_{x\to0^{+}}\frac{\arctan(x)}{x} =-1,
pois \lim_{x\to0}\frac{\arctan(x)}{x}=1.

Resposta

-1

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