\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{x^{2}-2 x+2}{x^{2}+x-2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite lateral
\lim_{x\to1^{+}}\frac{x^{2}-2x+2}{x^{2}+x-2}.
O conteúdo aqui é análise de limite de função racional, em que o denominador tende a zero. Para resolver, vamos estudar o comportamento do numerador e do denominador separadamente e depois a sinalização do denominador ao nos aproximarmos de 1 pela direita.

Passo 2

Como polinômios são funções contínuas, o numerador satisfaz
\lim_{x\to1}(x^{2}-2x+2)=1^{2}-2\cdot1+2=1.
Portanto o numerador tende a 1, um valor finito e não nulo.

Passo 3

Fatoremos o denominador:
x^{2}+x-2=(x-1)(x+2).
Ao nos aproximarmos de x=1 pela direita, temos (x-1)>0 pequeno e (x+2)\to3>0. Assim
x^{2}+x-2\;\xrightarrow[x\to1^{+}]{}\;0^{+}.

Passo 4

Com o numerador tendendo a 1 e o denominador tendendo a 0^{+}, o quociente cresce sem limite superior, ou seja,
\frac{x^{2}-2x+2}{x^{2}+x-2}\;\xrightarrow[x\to1^{+}]{}\;+\infty.

Resposta

+\infty

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