Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas e observações iniciais:
-
e são constantes (não dependem de ). - Quando
temos e , portanto e . Logo a expressão é uma indeterminação do tipo . - Objetivo: encontrar o valor numérico (em função de
e ) desse limite.
Passo 2
Escolha do método: vou usar o Teorema de L’Hôpital porque trata diretamente limites do tipo
e exige apenas derivadas simples (regra da cadeia e derivada do log). É um método bem direto para este tipo de expressão e costuma ser o que se aplica na prova sem necessidade de séries. Depois eu mostro rapidamente outro método (expansão) como checagem.
L’Hôpital (forma útil aqui) diz: se
e
e
são differentiáveis perto de
com
próximo de
, então, se existir,
Aplicamos com
e
.
Passo 3
Calcular
. Usamos a regra da cadeia e a derivada de
.
- A derivada de
em relação a é . - Aqui
. Então (regra da cadeia).
Logo
Passo 4
Calcular
de forma análoga. Com
temos
. Assim
Passo 5
Aplicando L’Hôpital:
Passo 6
Calcular
.
Usamos que para vale
. Podemos justificar rapidamente:
Usamos que para
pois
e
.
Agora substituímos
e
. Quando
,
e
, então
Passo 7
Voltando à expressão do Passo 5:
Passo 8
Verificação rápida por expansão (checagem, não necessária na prova se já usar L’Hôpital):
Para pequeno,
. Então
Para
Aplicando com
e
obtemos
e
. A razão é
, coincidente com o resultado acima.