\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (\cos a x)}{\ln (\cos b x)}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(\cos a x)}{\ln(\cos b x)}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • a e b são constantes (não dependem de x).
  • Quando x\to 0 temos \cos(a x)\to 1 e \cos(b x)\to 1, portanto \ln(\cos a x)\to\ln 1=0 e \ln(\cos b x)\to 0. Logo a expressão é uma indeterminação do tipo 0/0.
  • Objetivo: encontrar o valor numérico (em função de a e b) desse limite.

Passo 2

Escolha do método: vou usar o Teorema de L’Hôpital porque trata diretamente limites do tipo 0/0 e exige apenas derivadas simples (regra da cadeia e derivada do log). É um método bem direto para este tipo de expressão e costuma ser o que se aplica na prova sem necessidade de séries. Depois eu mostro rapidamente outro método (expansão) como checagem.
L’Hôpital (forma útil aqui) diz: se \lim_{x\to 0} f(x)=0 e \lim_{x\to 0} g(x)=0 e f,g são differentiáveis perto de 0 com g'(x)\neq 0 próximo de 0, então, se existir,
\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Aplicamos com f(x)=\ln(\cos a x) e g(x)=\ln(\cos b x).

Passo 3

Calcular f'(x). Usamos a regra da cadeia e a derivada de \ln(u).
  • A derivada de \ln(u) em relação a x é \dfrac{u'}{u}.
  • Aqui u(x)=\cos(a x). Então u'(x)=-\sin(a x)\cdot a (regra da cadeia).
    Logo
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{-a\sin(a x)}{\cos(a x)}=-a\tan(a x).

Passo 4

Calcular g'(x) de forma análoga. Com v(x)=\cos(b x) temos v'(x)=-b\sin(b x). Assim
g'(x)=\frac{v'(x)}{v(x)}=\frac{-b\sin(b x)}{\cos(b x)}=-b\tan(b x).

Passo 5

Aplicando L’Hôpital:
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(\cos a x)}{\ln(\cos b x)} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f'(x)}{g'(x)} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-a\tan(a x)}{-b\tan(b x)} =\frac{a}{b}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan(a x)}{\tan(b x)}.

Passo 6

Calcular \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan(a x)}{\tan(b x)}.
Usamos que para t\to 0 vale \displaystyle\lim_{t\to 0}\frac{\tan t}{t}=1. Podemos justificar rapidamente:
\frac{\tan t}{t}=\frac{\sin t}{t}\cdot\frac{1}{\cos t}\longrightarrow 1\cdot 1 =1
pois \displaystyle\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1 e \displaystyle\lim_{t\to 0}\cos t=1.
Agora substituímos t=ax e s=bx. Quando x\to 0, ax\to 0 e bx\to 0, então
\lim_{x\to 0}\frac{\tan(a x)}{\tan(b x)} =\lim_{x\to 0}\frac{a x}{b x} =\frac{a}{b}.

Passo 7

Voltando à expressão do Passo 5:
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(\cos a x)}{\ln(\cos b x)} =\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{b}=\frac{a^2}{b^2}.

Passo 8

Verificação rápida por expansão (checagem, não necessária na prova se já usar L’Hôpital):
Para t pequeno, \cos t=1-\dfrac{t^2}{2}+o(t^2). Então
\ln(\cos t)=\ln\!\left(1-\frac{t^2}{2}+o(t^2)\right)\approx -\frac{t^2}{2}+o(t^2).
Aplicando com t=a x e t=b x obtemos \ln(\cos a x)\approx -\dfrac{a^2 x^2}{2} e \ln(\cos b x)\approx -\dfrac{b^2 x^2}{2}. A razão é \dfrac{a^2}{b^2}, coincidente com o resultado acima.

Resposta

\dfrac{a^{2}}{b^{2}}

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