\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{3}}{2^{x}}

Passo 1

O problema pede calcular o limite
\lim_{x\to +\infty} \frac{x^{3}}{2^{x}}.
Informações dadas que vamos usar:
  • O numerador é o polinômio \,x^{3}\, que tende a +\infty quando x\to+\infty.
  • O denominador é a função exponencial \,2^{x}\, que também tende a +\infty quando x\to+\infty.
  • Portanto a expressão tem forma indeterminada do tipo \frac{\infty}{\infty}.

Passo 2

Estratégia escolhida (sem resolver ainda): usar a Regra de L’Hôpital, que é um método padrão para limites com forma \frac{\infty}{\infty} ou \frac{0}{0}. Vou justificar por que podemos aplicá‑la e então aplicá‑la repetidas vezes até obter um limite direto.

Passo 3

Lembrete didático da Regra de L’Hôpital (em linguagem simples): se \lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} g(x)=\pm\infty (ou ambos 0), e f e g são diferenciáveis em um intervalo (exceto possivelmente em a), então, quando o limite existir,
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Aqui temos f(x)=x^3 e g(x)=2^x. Ambas tendem a +\infty quando x\to+\infty, e são diferenciáveis, então podemos aplicar a regra.

Passo 4

Primeira aplicação de L’Hôpital: derivamos numerador e denominador.
A derivada de \,x^{3}\, é \,3x^{2}\,.
A derivada de \,2^{x}\, é \,(\ln 2)\,2^{x}\, (explico: para a^{x} a derivada é (\ln a)\,a^{x}, e aqui a=2).
Portanto
\lim_{x\to +\infty} \frac{x^{3}}{2^{x}} = \lim_{x\to +\infty} \frac{3x^{2}}{(\ln 2)\,2^{x}}.
Nota: a nova expressão ainda tem forma \frac{\infty}{\infty}, então podemos repetir L’Hôpital.

Passo 5

Segunda aplicação de L’Hôpital: derivamos novamente numerador e denominador.
A derivada de \,3x^{2}\, é \,6x\,.
A derivada de (\ln 2)\,2^{x} é (\ln 2)\cdot(\ln 2)\,2^{x}=(\ln 2)^{2}\,2^{x}.
Assim
\lim_{x\to +\infty} \frac{3x^{2}}{(\ln 2)\,2^{x}} = \lim_{x\to +\infty} \frac{6x}{(\ln 2)^{2}\,2^{x}}.
Ainda é \frac{\infty}{\infty}, então aplicamos mais uma vez.

Passo 6

Terceira aplicação de L’Hôpital: derivadas de novo.
A derivada de \,6x\, é \,6.
A derivada de (\ln 2)^{2}\,2^{x} é (\ln 2)^{2}\cdot(\ln 2)\,2^{x}=(\ln 2)^{3}\,2^{x}.
Portanto
\lim_{x\to +\infty} \frac{6x}{(\ln 2)^{2}\,2^{x}} = \lim_{x\to +\infty} \frac{6}{(\ln 2)^{3}\,2^{x}}.

Passo 7

Análise final: na última expressão o numerador é a constante 6 e o denominador é (\ln 2)^{3}\,2^{x}. Como \,2^{x}\to +\infty quando x\to+\infty, o denominador tende a +\infty e a fração tende a 0. Logo
\lim_{x\to +\infty} \frac{6}{(\ln 2)^{3}\,2^{x}} = 0.
Portanto, voltando às igualdades pelas aplicações sucessivas da Regra de L’Hôpital, concluímos que o limite original é 0.

Resposta

0

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