Passo 1
O problema pede calcular o limite
Informações dadas que vamos usar:
- O numerador é o polinômio
que tende a quando . - O denominador é a função exponencial
que também tende a quando . - Portanto a expressão tem forma indeterminada do tipo
.
Passo 2
Estratégia escolhida (sem resolver ainda): usar a Regra de L’Hôpital, que é um método padrão para limites com forma
ou
. Vou justificar por que podemos aplicá‑la e então aplicá‑la repetidas vezes até obter um limite direto.
Passo 3
Lembrete didático da Regra de L’Hôpital (em linguagem simples): se
(ou ambos 0), e
e
são diferenciáveis em um intervalo (exceto possivelmente em
), então, quando o limite existir,
Aqui temos
e
. Ambas tendem a
quando
, e são diferenciáveis, então podemos aplicar a regra.
Passo 4
Primeira aplicação de L’Hôpital: derivamos numerador e denominador.
A derivada de é
.
A derivada de é
(explico: para
a derivada é
, e aqui
).
Portanto
A derivada de
A derivada de
Portanto
Nota: a nova expressão ainda tem forma
, então podemos repetir L’Hôpital.
Passo 5
Segunda aplicação de L’Hôpital: derivamos novamente numerador e denominador.
A derivada de é
.
A derivada de é
.
Assim
A derivada de
A derivada de
Assim
Ainda é
, então aplicamos mais uma vez.
Passo 6
Terceira aplicação de L’Hôpital: derivadas de novo.
A derivada de é
.
A derivada de é
.
Portanto
A derivada de
A derivada de
Portanto
Passo 7
Análise final: na última expressão o numerador é a constante
e o denominador é
. Como
quando
, o denominador tende a
e a fração tende a
. Logo
Portanto, voltando às igualdades pelas aplicações sucessivas da Regra de L’Hôpital, concluímos que o limite original é
.