\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{arcsenh} x}{x}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\operatorname{arcsenh}x}{x}.
O conteúdo envolve a função arco‐seno hiperbólico e técnicas de expansão em série (ou l’Hôpital).

Passo 2

Recordando a definição,
\operatorname{arcsenh}x=\operatorname{arcsinh}x =\ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr).

Passo 3

Para x próximo de zero, desenvolvemos em série:
\sqrt{x^{2}+1}=1+\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{8}+\cdots,
portanto
x+\sqrt{x^{2}+1}=1+x+\frac{x^{2}}{2}+\cdots \quad\Longrightarrow\quad \ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr) =x-\frac{x^{3}}{6}+\mathcal{O}(x^{5}).

Passo 4

Dividindo por x e levando x\to0,
\frac{\operatorname{arcsenh}x}{x} =\frac{x-\tfrac{x^{3}}{6}+\mathcal{O}(x^{5})}{x} =1-\frac{x^{2}}{6}+\mathcal{O}(x^{4})
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\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{arcsenh}x}{x}=1.

Resposta

1

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