$
(n)
\lim _{x \rightarrow+\infty}(\sqrt{x^{2}+1}-x)$

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to+\infty}\bigl(\sqrt{x^2+1}-x\bigr).
Aqui temos uma forma do tipo \infty-\infty, então vamos racionalizar usando a conjugada para simplificar a expressão.

Passo 2

Multiplicamos e dividimos por \sqrt{x^2+1}+x:
\sqrt{x^2+1}-x = \frac{\bigl(\sqrt{x^2+1}-x\bigr)\bigl(\sqrt{x^2+1}+x\bigr)}{\sqrt{x^2+1}+x} = \frac{x^2+1 - x^2}{\sqrt{x^2+1}+x} = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}.

Passo 3

Agora consideramos
\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}.
Para x\to+\infty temos \sqrt{x^2+1}\sim x, logo o denominador cresce como x+x=2x. Então
\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}\sim \frac{1}{2x}\to 0.

Resposta

0

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