$
(q)
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{\sin x}$

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to0^{+}} x^{\sin x}.
Este é um limite do tipo 0^0 (pois x\to0^+ faz x\to0 e \sin x\to0), que é uma indeterminação. Para resolver, vamos usar a transformação via logaritmo e depois exponencial.

Passo 2

Definimos
L = \lim_{x\to0^{+}} x^{\sin x}.
Seja
y = x^{\sin x}.
Tomando logaritmo natural, obtemos
\ln y = \sin x \,\ln x.
Logo
\ln L = \lim_{x\to0^{+}} \sin x \,\ln x.
Para avaliar esse limite, note que
\sin x = x\cdot\frac{\sin x}{x},
onde \frac{\sin x}{x}\to1 quando x\to0. Assim
\sin x\,\ln x = x\,\ln x\;\cdot\;\frac{\sin x}{x}.
Sabemos que
\lim_{x\to0^{+}}x\,\ln x = 0
e
\lim_{x\to0^{+}}\frac{\sin x}{x} = 1.
Portanto, pelo produto de limites,
\ln L = \lim_{x\to0^{+}}\sin x\,\ln x = 0\cdot1 = 0.

Passo 3

Como \ln L = 0, temos
L = e^{0} = 1.

Resposta

1

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