\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{arctanh} x}{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{arctanh}x}{x}.
O conteúdo aqui é o uso de limites de funções indeterminadas do tipo \tfrac{0}{0}, podendo aplicar a regra de L’Hôpital ou expansão em série de Taylor.

Passo 2

Verificamos que, quando x\to 0, temos \operatorname{arctanh}x\to 0 e x\to 0, gerando a indeterminação \tfrac{0}{0}. Assim, podemos usar a regra de L’Hôpital, que diz que
\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)}
desde que esse novo limite exista.

Passo 3

Calculamos as derivadas:
f(x)=\operatorname{arctanh}x \quad\Longrightarrow\quad f'(x)=\frac{1}{1-x^{2}},
g(x)=x \quad\Longrightarrow\quad g'(x)=1.
Aplicando L’Hôpital,
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{arctanh}x}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{\tfrac{1}{1-x^{2}}}{1} = \frac{1}{1-0^{2}} = 1.

Passo 4

Alternativamente, usando a expansão em série de Taylor de \operatorname{arctanh}x em torno de 0:
\operatorname{arctanh}x = x + \tfrac{x^{3}}{3} + O(x^{5}),
segue que
\frac{\operatorname{arctanh}x}{x} = 1 + \tfrac{x^{2}}{3} + O(x^{4}) \;\xrightarrow[x\to0]{}\;1.

Resposta

1

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