\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\arcsinh x}{x}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to 0}\frac{\arcsinh x}{x}.
Percebemos que, ao substituir x=0, o quociente fica na forma indeterminada 0/0, então vamos usar o Teorema de l’Hôpital, que nos permite tomar derivadas de numerador e denominador.

Passo 2

Aplicando l’Hôpital, derivamos as duas partes:
\displaystyle\frac{d}{dx}[\arcsinh x]=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}
\displaystyle\frac{d}{dx}[x]=1
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\lim_{x\to0}\frac{\arcsinh x}{x} =\lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}}{1} =\lim_{x\to0}\frac{1}{\sqrt{x^2+1}} =1.

Resposta

1

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