\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{arccosh} x-1}{x}

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{arccosh}x-1}{x}
Lembre que \operatorname{arccosh}x é a função inversa de \operatorname{cosh} y, definida para x\ge1 com valores reais.

Passo 2

Verificamos o domínio de \operatorname{arccosh}x:
Para que \operatorname{arccosh}x seja real, é necessário ter x\ge1. Mas o limite proposto exige x\to0, ou seja, x<1.

Passo 3

Como para 0\le x<1 a expressão \operatorname{arccosh}x não é real, não faz sentido falar em limite real quando x\to0.

Resposta

O limite não existe no âmbito dos números reais, pois x=0 está fora do domínio de \operatorname{arccosh}x.

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