\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(\operatorname{sen} x)^{2}}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to 0}\frac{(\operatorname{sen} x)^{2}}{x^{2}},
que é um problema de limites de funções envolvendo a função seno. Vamos usar o limite fundamental
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen} x}{x}=1
e propriedades de limites.

Passo 2

Reescrevemos o quociente de quadrados como o quadrado de um quociente. De fato,
\frac{(\operatorname{sen} x)^{2}}{x^{2}} =\Bigl(\frac{\operatorname{sen} x}{x}\Bigr)^{2}.

Passo 3

Aplicamos o limite fundamental ao fator interno. Como
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen} x}{x}=1,
temos que o limite do quadrado será o quadrado do limite (já que o limite interno existe e é finito).

Passo 4

Portanto,
\lim_{x\to0}\Bigl(\frac{\operatorname{sen} x}{x}\Bigr)^{2} =\bigl(\lim_{x\to0}\tfrac{\operatorname{sen} x}{x}\bigr)^{2} =1^{2} =1.

Resposta

1

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