\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \frac{1}{1+x}}{\operatorname{sen} x}

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular
\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\ln\frac{1}{1+x}}{\operatorname{sen}x}.
O conteúdo usado será limites do tipo \tfrac{0}{0} e a aplicação da regra de l’Hôpital.

Passo 2

Fazendo uma manipulação algébrica no numerador:
\ln\frac{1}{1+x} \;=\; -\ln(1+x).
Assim o limite fica
\lim_{x\to0}\left(-\frac{\ln(1+x)}{\operatorname{sen}x}\right).

Passo 3

Verificamos a indeterminação: ao fazermos x\to0,
\ln(1+x)\to0 e \operatorname{sen}x\to0,
logo temos um caso \tfrac{0}{0}, o que permite usar a regra de l’Hôpital.

Passo 4

Aplicando l’Hôpital, derivamos numerador e denominador separadamente:
– Numerador -\ln(1+x) tem derivada -\tfrac{1}{1+x}.
– Denominador \operatorname{sen}x tem derivada \cos x.

Passo 5

O limite transformado é
\lim_{x\to0}\frac{-\tfrac{1}{1+x}}{\cos x} \;=\; \lim_{x\to0}\!\Bigl(-\frac{1}{(1+x)\cos x}\Bigr).
Substituindo x=0 obtemos
-\frac{1}{1\cdot1} \;=\;-1.

Resposta

-1

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