\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{6}-1}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x tende a 1:
\lim_{x\to 1} \frac{x^{6}-1}{x-1}.
Informações relevantes que temos: a expressão no numerador é x^{6}-1 e o denominador é x-1. Se eu substituir x=1 diretamente, obtenho \frac{1^{6}-1}{1-1}=\frac{0}{0}, que é uma forma indeterminada. A tarefa é transformar a expressão de modo a poder avaliar o limite.

Passo 2

Verificação da forma indeterminada: substituindo x=1 temos
\frac{1^{6}-1}{1-1}=\frac{0}{0},
ou seja, não podemos concluir o valor do limite só por substituição. Quando aparece \frac{0}{0} é sinal de que precisamos manipular algebricamente a expressão (ou usar outro método) para eliminar a indeterminação.

Passo 3

Vamos usar uma identidade algébrica útil (vou mostrar por que ela vale): para quaisquer a, b e inteiro n\ge1 vale
a^{n}-b^{n}=(a-b)\bigl(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1}\bigr).
Prova rápida (ideia): multiplicando o fator à direita por (a-b) gera uma soma telescópica:
(a-b)\bigl(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+b^{n-1}\bigr)=a^{n}-b^{n}.
Esse é um fatoramento padrão e nos permite cancelar um fator (a-b) quando presente.

Passo 4

Aplicando a identidade com a=x, b=1 e n=6 obtemos (pegando b=1 diretamente)
x^{6}-1=(x-1)\bigl(x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\bigr).
Note que usei a forma da identidade com b=1, então todos os termos mistos viram potências de x ou 1.

Passo 5

Substituo esse fatoramento na função do limite e, para x\neq 1, posso cancelar o fator (x-1):
\frac{x^{6}-1}{x-1}=\frac{(x-1)\bigl(x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\bigr)}{x-1}=x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1.
Agora a expressão não tem indeterminação próxima a x=1 (é um polinômio), então o limite quando x\to 1 é simplesmente o valor dessa expressão em x=1.

Passo 6

Avalio a soma em x=1:
\lim_{x\to 1}\frac{x^{6}-1}{x-1}=1^{5}+1^{4}+1^{3}+1^{2}+1+1=1+1+1+1+1+1=6.
Explicação curta: polinômios são funções contínuas, então o limite ao se aproximar de 1 é o próprio valor no ponto 1.

Resposta

6

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