Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
tende a
:
Informações relevantes que temos: a expressão no numerador é
e o denominador é
. Se eu substituir
diretamente, obtenho
, que é uma forma indeterminada. A tarefa é transformar a expressão de modo a poder avaliar o limite.
Passo 2
Verificação da forma indeterminada: substituindo
temos
ou seja, não podemos concluir o valor do limite só por substituição. Quando aparece
é sinal de que precisamos manipular algebricamente a expressão (ou usar outro método) para eliminar a indeterminação.
Passo 3
Vamos usar uma identidade algébrica útil (vou mostrar por que ela vale): para quaisquer
,
e inteiro
vale
Prova rápida (ideia): multiplicando o fator à direita por
gera uma soma telescópica:
Esse é um fatoramento padrão e nos permite cancelar um fator
quando presente.
Passo 4
Aplicando a identidade com
,
e
obtemos (pegando
diretamente)
Note que usei a forma da identidade com
, então todos os termos mistos viram potências de
ou 1.
Passo 5
Substituo esse fatoramento na função do limite e, para
, posso cancelar o fator
:
Agora a expressão não tem indeterminação próxima a
(é um polinômio), então o limite quando
é simplesmente o valor dessa expressão em
.
Passo 6
Avalio a soma em
:
Explicação curta: polinômios são funções contínuas, então o limite ao se aproximar de
é o próprio valor no ponto
.