\lim _{x \rightarrow 4} \frac{x^{3}-64}{x-4}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor do limite
\lim_{x\rightarrow 4}\frac{x^{3}-64}{x-4}.
Informações dadas: a expressão da função é \frac{x^{3}-64}{x-4} e o ponto para o qual x tende é x=4. A tarefa é encontrar o valor numérico desse limite.

Passo 2

Tento a substituição direta para ver se o limite é imediato. Substituindo x=4 na expressão obtemos no numerador
4^{3}-64=64-64=0,
e no denominador
4-4=0.
Portanto a expressão direta dá a forma indeterminada 0/0. Isso significa que não podemos concluir o limite apenas por substituição: é preciso manipular a expressão algébrica para simplificá-la antes de avaliar o limite.

Passo 3

Uma técnica comum para remover essa indeterminação é usar uma fatoração conhecida: a fatoração da diferença de cubos. A fórmula é
a^{3}-b^{3}=(a-b)\bigl(a^{2}+ab+b^{2}\bigr).
Aqui a e b são variáveis ou números quaisquer. Essa identidade é útil porque expressa a^{3}-b^{3} como um produto que contém o fator (a-b), que é justamente o fator que aparece no denominador no nosso problema. Exemplo rápido para fixar: 27-8=3^{3}-2^{3}=(3-2)(9+6+4)=1\cdot19=19.

Passo 4

Aplico a fórmula com a=x e b=4. Temos
x^{3}-64 = x^{3}-4^{3} = (x-4)\bigl(x^{2}+4x+16\bigr).
Substituindo isso na fração original:
\frac{x^{3}-64}{x-4}=\frac{(x-4)\bigl(x^{2}+4x+16\bigr)}{x-4}.
Como estamos estudando o limite quando x se aproxima de 4 (e não o valor exatamente em x=4), podemos simplificar a expressão cancelando o fator comum x-4 para todo x\neq 4. Assim a expressão equivalente para x perto de 4 é
x^{2}+4x+16.

Passo 5

Agora que a expressão foi simplificada para uma função polinomial contínua, posso avaliar o limite substituindo x=4 na expressão simplificada:
\lim_{x\rightarrow 4}\frac{x^{3}-64}{x-4}=\lim_{x\rightarrow 4}\bigl(x^{2}+4x+16\bigr)=4^{2}+4\cdot 4+16.
Calculo passo a passo:
4^{2}=16,\qquad 4\cdot 4=16,
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16+16+16=48.
Portanto o limite vale 48.

Passo 6

Como checagem rápida, posso mencionar outra técnica (quando aplicável): a regra de L’Hôpital. Como a forma é 0/0, podemos derivar numerador e denominador e avaliar:
\frac{d}{dx}(x^{3}-64)=3x^{2},\qquad \frac{d}{dx}(x-4)=1,
portanto pela regra de L’Hôpital
\lim_{x\rightarrow 4}\frac{x^{3}-64}{x-4}=\lim_{x\rightarrow 4}3x^{2}=3\cdot 4^{2}=3\cdot 16=48,
o que confirma o resultado anterior. Usei a fatoração como método principal porque é mais elementar e rápido nesta questão.

Resposta

48

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