Passo 1
O enunciado pede para calcular o valor do limite
Informações dadas: a expressão da função é
e o ponto para o qual
tende é
. A tarefa é encontrar o valor numérico desse limite.
Passo 2
Tento a substituição direta para ver se o limite é imediato. Substituindo
na expressão obtemos no numerador
e no denominador
Portanto a expressão direta dá a forma indeterminada
. Isso significa que não podemos concluir o limite apenas por substituição: é preciso manipular a expressão algébrica para simplificá-la antes de avaliar o limite.
Passo 3
Uma técnica comum para remover essa indeterminação é usar uma fatoração conhecida: a fatoração da diferença de cubos. A fórmula é
Aqui
e
são variáveis ou números quaisquer. Essa identidade é útil porque expressa
como um produto que contém o fator
, que é justamente o fator que aparece no denominador no nosso problema. Exemplo rápido para fixar:
.
Passo 4
Aplico a fórmula com
e
. Temos
Substituindo isso na fração original:
Como estamos estudando o limite quando
se aproxima de
(e não o valor exatamente em
), podemos simplificar a expressão cancelando o fator comum
para todo
. Assim a expressão equivalente para
perto de
é
Passo 5
Agora que a expressão foi simplificada para uma função polinomial contínua, posso avaliar o limite substituindo
na expressão simplificada:
Calculo passo a passo:
logo
Portanto o limite vale
.
Passo 6
Como checagem rápida, posso mencionar outra técnica (quando aplicável): a regra de L’Hôpital. Como a forma é
, podemos derivar numerador e denominador e avaliar:
portanto pela regra de L’Hôpital
o que confirma o resultado anterior. Usei a fatoração como método principal porque é mais elementar e rápido nesta questão.