Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão é a razão entre
e . - Se fizermos a substituição direta
obtemos no numerador e no denominador, portanto a forma é indeterminada do tipo .
(Isso nos diz que não podemos simplesmente substituir— precisamos manipular a expressão para resolver o limite.)
Passo 2
Um truque clássico para diferenças de potências: a fatoração da diferença de potências. A fórmula geral é
onde
e
são números (ou variáveis) e
é inteiro positivo. Vou mostrar por que isso é verdade de forma direta: defina
Multiplicando
por
temos
Observe que
e
. Subtraindo esses dois somatórios todos os termos intermediários cancelam, sobrando apenas
Logo
, o que prova a fórmula.
Passo 3
Agora aplicamos essa fatoração ao nosso caso com
,
e
. Pelo que acabamos de provar,
Passo 4
Substituímos essa fatoração na expressão do limite. Para
podemos cancelar o fator
, obtendo
Isso é válido para todo
diferente de
; como o limite considera
aproximando-se de
(mas não necessariamente igual a
), essa simplificação é permitida.
Passo 5
Agora calculamos o limite da soma polinomial obtida. Como somatório e limite podem ser trocados quando tudo é finito e contínuo, temos
Cada termo
. Há
termos no somatório (
até
), portanto a soma dos limites é
(dez vezes), isto é
.
Passo 6
Observação alternativa (útil na prova): podemos também reconhecer que o limite
é exatamente a derivada de
em
, porque a definição da derivada é
. Calculando a derivada
e avaliando em
dá
, que coincide com o resultado anterior. A vantagem desse comentário é que, se você lembrar da interpretação como derivada, resolve rapidinho com segurança.
Resposta
10