\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{10}-1}{x-1}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to 1}\frac{x^{10}-1}{x-1}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão é a razão entre \;x^{10}-1\; e \;x-1\;.
  • Se fizermos a substituição direta x=1 obtemos \;1^{10}-1=0\; no numerador e \;1-1=0\; no denominador, portanto a forma é indeterminada do tipo 0/0.
    (Isso nos diz que não podemos simplesmente substituir x=1 — precisamos manipular a expressão para resolver o limite.)

Passo 2

Um truque clássico para diferenças de potências: a fatoração da diferença de potências. A fórmula geral é
a^n-b^n=(a-b)\bigl(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1}\bigr),
onde a e b são números (ou variáveis) e n é inteiro positivo. Vou mostrar por que isso é verdade de forma direta: defina
S=a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1}.
Multiplicando S por (a-b) temos
(a-b)S = aS - bS.
Observe que aS = a^n + a^{n-1}b + \cdots + ab^{n-1} e bS = a^{n-1}b + a^{n-2}b^2 + \cdots + b^n. Subtraindo esses dois somatórios todos os termos intermediários cancelam, sobrando apenas
aS - bS = a^n - b^n.
Logo (a-b)S = a^n - b^n, o que prova a fórmula.

Passo 3

Agora aplicamos essa fatoração ao nosso caso com a=x, b=1 e n=10. Pelo que acabamos de provar,
x^{10}-1=(x-1)\bigl(x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1\bigr).

Passo 4

Substituímos essa fatoração na expressão do limite. Para x\neq 1 podemos cancelar o fator (x-1), obtendo
\frac{x^{10}-1}{x-1}=x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1.
Isso é válido para todo x diferente de 1; como o limite considera x aproximando-se de 1 (mas não necessariamente igual a 1), essa simplificação é permitida.

Passo 5

Agora calculamos o limite da soma polinomial obtida. Como somatório e limite podem ser trocados quando tudo é finito e contínuo, temos
\lim_{x\to 1}\bigl(x^9+x^8+\cdots+x+1\bigr) =\lim_{x\to 1}x^9+\lim_{x\to 1}x^8+\cdots+\lim_{x\to 1}x+\lim_{x\to 1}1.
Cada termo \lim_{x\to 1}x^k=1^k=1. Há 10 termos no somatório ( x^9 até x^0), portanto a soma dos limites é 1+1+\cdots+1 (dez vezes), isto é 10.

Passo 6

Observação alternativa (útil na prova): podemos também reconhecer que o limite
\lim_{x\to 1}\frac{x^{10}-1}{x-1}
é exatamente a derivada de f(x)=x^{10} em x=1, porque a definição da derivada é f'(1)=\lim_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}. Calculando a derivada f'(x)=10x^9 e avaliando em x=1 10\cdot 1^9=10, que coincide com o resultado anterior. A vantagem desse comentário é que, se você lembrar da interpretação como derivada, resolve rapidinho com segurança.

Resposta

10

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