\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1-\cos x}{x}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to\infty}\frac{1-\cos x}{x}.
Informações dadas (explícitas ou óbvias a partir da expressão):
  • A função envolvida é f(x)=\dfrac{1-\cos x}{x}.
  • A função cosseno satisfaz, para todo x, \cos x\in[-1,1] (esta informação será usada).
  • A imagem enviada parece ser de um caminhão basculante, mas eu não uso nenhum dado da imagem para resolver este limite. Portanto a imagem é irrelevante para o cálculo do limite.

Passo 2

Vamos lembrar uma propriedade básica do cosseno e explicá‑la: para todo x\in\mathbb{R} vale
-1\le \cos x\le 1.
Significado: o cosseno nunca ultrapassa 1 nem fica abaixo de -1. Isso é uma propriedade trigonométrica fundamental que decorre da definição geométrica/analítica do cosseno.

Passo 3

A partir de -1\le \cos x\le 1 transformamos para obter desigualdades envolvendo 1-\cos x. Subtraindo \cos x dos três termos e somando 1, obtemos
0\le 1-\cos x\le 2.
Explicação detalhada:
  • Como \cos x\le 1, temos 1-\cos x\ge 0.
  • Como \cos x\ge -1, temos 1-\cos x\le 2.
    Então 1-\cos x está sempre entre 0 e 2.

Passo 4

Queremos a desigualdade para \dfrac{1-\cos x}{x} quando x tende a +\infty. Para x>0 (e na passagem por x\to\infty podemos considerar x suficientemente grande e positivo) podemos dividir a desigualdade anterior por x sem trocar os sinais:
0 \le \frac{1-\cos x}{x} \le \frac{2}{x},\qquad \text{para todo } x>0.
Observação: dividir por um número positivo preserva a ordem das desigualdades.

Passo 5

Agora vamos analisar os limites das funções que aparecem nas faixas:
  • O limite da função constante zero é
\lim_{x\to\infty} 0 = 0.
  • O limite de \dfrac{2}{x} quando x\to\infty é
\lim_{x\to\infty} \frac{2}{x} = 0,
pois o denominador cresce sem limite e a fração vai a zero. (Isto é um limite básico: \lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x}=0, então multiplicando por 2 permanece 0.)

Passo 6

Aplicamos agora o teorema do confronto (também chamado de teorema do sanduíche): se para todo x suficientemente grande temos
g(x)\le f(x)\le h(x)
e \lim_{x\to\infty}g(x)=\lim_{x\to\infty}h(x)=L, então \lim_{x\to\infty}f(x)=L.
No nosso caso, com g(x)=0, f(x)=\dfrac{1-\cos x}{x} e h(x)=\dfrac{2}{x}, vimos que
0 \le \frac{1-\cos x}{x} \le \frac{2}{x}
e ambos os limites das extremidades são 0. Portanto, pelo teorema do confronto,
\lim_{x\to\infty}\frac{1-\cos x}{x} = 0.

Passo 7

Comentário extra (reforço didático): outra forma de ver é usar valor absoluto. Sabemos |1-\cos x|\le 2, então
\left|\frac{1-\cos x}{x}\right|\le \frac{2}{x},
e como \dfrac{2}{x}\to 0 quando x\to\infty, segue que o valor absoluto da função vai a 0, o que implica que a própria função vai a 0. Ambas as abordagens são equivalentes e reforçam a conclusão.

Resposta

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