\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \cos x-\sin x}{x^{2} \sin x}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to0}\frac{x\cos x-\sin x}{x^{2}\sin x}.
Para resolver, vamos usar as séries de Taylor de \sin x e \cos x em torno de x=0, pois assim encontramos facilmente o comportamento de numerador e denominador até a ordem necessária.

Passo 2

Anotamos as expansões até termos de ordem x^5:
\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + O(x^7),
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6).

Passo 3

Expandimos o numerador N(x)=x\cos x-\sin x:
x\cos x = x\Bigl(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}\Bigr) + O(x^7) = x - \frac{x^3}{2} + \frac{x^5}{24} + O(x^7),
N(x)=\bigl(x - \tfrac{x^3}{2} + \tfrac{x^5}{24}\bigr)-\bigl(x - \tfrac{x^3}{6} + \tfrac{x^5}{120}\bigr)+O(x^7),
N(x) = -\frac{x^3}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{24} - \frac{x^5}{120} + O(x^7) = -\frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{30} + O(x^7).

Passo 4

Agora o denominador D(x)=x^2\sin x:
D(x)=x^2\Bigl(x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}\Bigr)+O(x^8) = x^3 - \frac{x^5}{6} + O(x^7).

Passo 5

Formamos a razão das séries:
\frac{N(x)}{D(x)} = \frac{-\frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{30} + O(x^7)}{x^3\bigl(1 - \frac{x^2}{6} + O(x^4)\bigr)} = \frac{-\tfrac{1}{3} + \tfrac{x^2}{30} + O(x^4)}{1 - \tfrac{x^2}{6} + O(x^4)}.
Quando x\to0, o termo em x^2 some, e a fração tende a
-\frac{1}{3}.

Resposta

-\,\frac{1}{3}

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