\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt[3]{x^{3}+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to+\infty}\bigl(\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt[3]{x^{3}+1}\bigr).
O conteúdo é cálculo de limite na ∞ usando o termo de maior ordem em cada raiz e desenvolvimentos binomiais.

Passo 2

Fatoramos x em cada termo para isolar o crescimento dominante:
\sqrt{x^{2}+1}=x\sqrt{1+\frac1{x^{2}}},\qquad \sqrt[3]{x^{3}+1}=x\sqrt[3]{1+\frac1{x^{3}}}.

Passo 3

Para x\to+\infty usamos expansão binomial em potências decrescentes de x:
\sqrt{1+\tfrac1{x^{2}}} =1+\frac{1}{2x^{2}}+o\!\bigl(x^{-2}\bigr), \qquad \sqrt[3]{1+\tfrac1{x^{3}}} =1+\frac{1}{3x^{3}}+o\!\bigl(x^{-3}\bigr).
Multiplicando por x
\sqrt{x^{2}+1} = x + \frac{1}{2x} + o\!\bigl(x^{-1}\bigr), \quad \sqrt[3]{x^{3}+1} = x + \frac{1}{3x^{2}} + o\!\bigl(x^{-2}\bigr).

Passo 4

Subtraindo as duas expressões:
\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt[3]{x^{3}+1} =\Bigl(x+\frac{1}{2x}+o(x^{-1})\Bigr) -\Bigl(x+\frac{1}{3x^{2}}+o(x^{-2})\Bigr) =\frac{1}{2x}-\frac{1}{3x^{2}}+o(x^{-1}).
Como \frac{1}{2x}-\frac{1}{3x^{2}}\to0 quando x\to+\infty, o limite é 0.

Resposta

0

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