Passo 1
O enunciado pede que calculemos o valor do limite
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função
está definida para . - Queremos o comportamento quando
tende a .
Nada mais é dado; a tarefa é determinar esse limite.
Passo 2
Primeiro preciso escrever
numa forma explícita que seja fácil de manipular. Defina
. Por definição temos
. Usando a definição de cosseno hiperbólico,
Multiplicando por
obtemos a quadrática em
:
Resolvendo para
(e lembrando que
para
, logo escolhemos o sinal “+”):
Tomando logaritmo natural,
Esta é uma fórmula padrão e válida para
. Vou usá-la para o limite.
Passo 3
Reescrevo o limite usando a expressão acima:
Agora o objetivo é mostrar que esse quociente tende a zero, porque o numerador cresce como um logaritmo (muito mais devagar que
).
Passo 4
Faço uma desigualdade superior simples que facilita a comparação. Para
temos
. Então
e aplicando
(função crescente),
Portanto
Passo 5
Faço também uma desigualdade inferior simples. Como
para
, temos
logo
Assim
Agora tenho o encadeamento
Passo 6
Calculo os limites das funções que cercam a expressão, ou seja os limites de
e
quando
. Observo que
Sabemos que
e
. Resta tratar
. Usando a regra de L’Hôpital (pois
e
, forma
):
Portanto tanto
quanto
tendem a
quando
.
Passo 7
Pelo princípio do sanduíche (teorema do confronto), como
e ambos os extremos tendem a
, concluímos que
Intuitivamente:
cresce como
, e logaritmo cresce muito mais devagar que função linear
, então a razão vai para zero.