\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\operatorname{arccosh} x-1}{x}

Passo 1

O enunciado pede que calculemos o valor do limite
\lim_{x\to\infty}\frac{\operatorname{arccosh}x-1}{x}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função \operatorname{arccosh}x está definida para x\ge 1.
  • Queremos o comportamento quando x tende a +\infty.
    Nada mais é dado; a tarefa é determinar esse limite.

Passo 2

Primeiro preciso escrever \operatorname{arccosh}x numa forma explícita que seja fácil de manipular. Defina y=\operatorname{arccosh}x. Por definição temos \operatorname{cosh} y = x. Usando a definição de cosseno hiperbólico,
\operatorname{cosh} y=\frac{e^{y}+e^{-y}}{2}=x.
Multiplicando por 2e^{y} obtemos a quadrática em e^{y}:
e^{2y}-2x e^{y}+1=0.
Resolvendo para e^{y} (e lembrando que y\ge0 para x\ge1, logo escolhemos o sinal “+”):
e^{y}=x+\sqrt{x^{2}-1}.
Tomando logaritmo natural,
\operatorname{arccosh}x=y=\ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}-1}\bigr).
Esta é uma fórmula padrão e válida para x\ge1. Vou usá-la para o limite.

Passo 3

Reescrevo o limite usando a expressão acima:
\lim_{x\to\infty}\frac{\operatorname{arccosh}x-1}{x} = \lim_{x\to\infty}\frac{\ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}-1}\bigr)-1}{x}.
Agora o objetivo é mostrar que esse quociente tende a zero, porque o numerador cresce como um logaritmo (muito mais devagar que x).

Passo 4

Faço uma desigualdade superior simples que facilita a comparação. Para x\ge1 temos \sqrt{x^{2}-1}\le x. Então
x+\sqrt{x^{2}-1}\le x+x=2x,
e aplicando \ln (função crescente),
\operatorname{arccosh}x=\ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}-1}\bigr)\le \ln(2x).
Portanto
\frac{\operatorname{arccosh}x-1}{x}\le \frac{\ln(2x)-1}{x}.

Passo 5

Faço também uma desigualdade inferior simples. Como \sqrt{x^{2}-1}\ge 0 para x\ge1, temos
x+\sqrt{x^{2}-1}\ge x,
logo
\operatorname{arccosh}x=\ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}-1}\bigr)\ge \ln x.
Assim
\frac{\operatorname{arccosh}x-1}{x}\ge \frac{\ln x-1}{x}.
Agora tenho o encadeamento
\frac{\ln x-1}{x}\le \frac{\operatorname{arccosh}x-1}{x}\le \frac{\ln(2x)-1}{x}.

Passo 6

Calculo os limites das funções que cercam a expressão, ou seja os limites de \dfrac{\ln x-1}{x} e \dfrac{\ln(2x)-1}{x} quando x\to\infty. Observo que
\frac{\ln(2x)-1}{x}=\frac{\ln 2}{x}+\frac{\ln x}{x}-\frac{1}{x}.
Sabemos que \dfrac{\ln 2}{x}\to 0 e \dfrac{1}{x}\to 0. Resta tratar \dfrac{\ln x}{x}. Usando a regra de L’Hôpital (pois \ln x\to\infty e x\to\infty, forma \tfrac{\infty}{\infty}):
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x} =\lim_{x\to\infty}\frac{(d/dx)\ln x}{(d/dx)x} =\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{1} =\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0.
Portanto tanto \dfrac{\ln x-1}{x} quanto \dfrac{\ln(2x)-1}{x} tendem a 0 quando x\to\infty.

Passo 7

Pelo princípio do sanduíche (teorema do confronto), como
\frac{\ln x-1}{x}\le \frac{\operatorname{arccosh}x-1}{x}\le \frac{\ln(2x)-1}{x}
e ambos os extremos tendem a 0, concluímos que
\lim_{x\to\infty}\frac{\operatorname{arccosh}x-1}{x}=0.
Intuitivamente: \operatorname{arccosh}x cresce como \ln x, e logaritmo cresce muito mais devagar que função linear x, então a razão vai para zero.

Resposta

0

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