Passo 1
O que o problema pede: calcular o limite
Informações dadas / observações imediatas:
- A função
é a inversa da função
(seno hiperbólico) e está definida para todo . - Para
tanto o numerador quanto o denominador tendem a , então a expressão tem a forma indeterminada .
Passo 2
Estratégia escolhida (sem entrarem em detalhes técnicos ainda): usar a Regra de L’Hôpital, que é prática quando temos uma razão com forma indeterminada
. Antes de aplicar, precisamos do derivado do numerador
. Vou mostrar como obter essa derivada passo a passo.
Passo 3
Fórmula útil: uma expressão frequentemente usada para
é a escrita em termos de logaritmo:
Explicando por que: essa é a forma explícita da função inversa de
; não precisa decorar, mas é bom saber como derivar a partir dela.
Passo 4
Agora derivamos
usando a forma logarítmica. Seja
. Então
e pela regra da cadeia a derivada é
Calculamos
:
Logo
Passo 5
Simplificamos a expressão da derivada. Multiplicando numerador e denominador por
temos
Perceba que
aparece no numerador e
no denominador — são iguais — portanto cancelam, restando
Esse é um resultado útil e rápido de lembrar: a derivada de
é
.
Passo 6
Agora aplicamos a Regra de L’Hôpital à razão original. Como tínhamos forma
e ambos os termos são diferenciáveis para
, pela Regra de L’Hôpital
Passo 7
Calculamos o limite da direita. Para
temos
, e mais concretamente
para
, então
Pelo confronto, segue que
Passo 8
Conclusão final do cálculo: como a aplicação de L’Hôpital deu
, o limite pedido é
. Vou acrescentar uma observação alternativa curta, só para reforçar: usando a forma logarítmica
e para
a segunda parcela fica próxima de
, então
cresce como
, muito mais devagar que
; por isso
. Isso confirma o resultado obtido com L’Hôpital.