\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\arcsinh x}{x}

Passo 1

O que o problema pede: calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\frac{\arcsinh x}{x}.
Informações dadas / observações imediatas:
  • A função \arcsinh x é a inversa da função \operatorname{sinh} (seno hiperbólico) e está definida para todo x\in\mathbb{R}.
  • Para x\to\infty tanto o numerador \arcsinh x quanto o denominador x tendem a +\infty, então a expressão tem a forma indeterminada \infty/\infty.

Passo 2

Estratégia escolhida (sem entrarem em detalhes técnicos ainda): usar a Regra de L’Hôpital, que é prática quando temos uma razão com forma indeterminada \infty/\infty. Antes de aplicar, precisamos do derivado do numerador \arcsinh x. Vou mostrar como obter essa derivada passo a passo.

Passo 3

Fórmula útil: uma expressão frequentemente usada para \arcsinh x é a escrita em termos de logaritmo:
\arcsinh x = \ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr).
Explicando por que: essa é a forma explícita da função inversa de \operatorname{sinh}; não precisa decorar, mas é bom saber como derivar a partir dela.

Passo 4

Agora derivamos \arcsinh x usando a forma logarítmica. Seja u(x)=x+\sqrt{x^{2}+1}. Então
\arcsinh x = \ln(u(x)),
e pela regra da cadeia a derivada é
\frac{d}{dx}\arcsinh x = \frac{u'(x)}{u(x)}.
Calculamos u'(x):
u'(x)=1+\frac{d}{dx}\sqrt{x^{2}+1}=1+\frac{1}{2\sqrt{x^{2}+1}}\cdot 2x =1+\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}.
Logo
\frac{d}{dx}\arcsinh x =\frac{1+\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}}{x+\sqrt{x^{2}+1}}.

Passo 5

Simplificamos a expressão da derivada. Multiplicando numerador e denominador por \sqrt{x^{2}+1} temos
\frac{1+\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}}{x+\sqrt{x^{2}+1}} =\frac{\dfrac{\sqrt{x^{2}+1}+x}{\sqrt{x^{2}+1}}}{x+\sqrt{x^{2}+1}} =\frac{\sqrt{x^{2}+1}+x}{\sqrt{x^{2}+1}\,(x+\sqrt{x^{2}+1})}.
Perceba que \sqrt{x^{2}+1}+x aparece no numerador e x+\sqrt{x^{2}+1} no denominador — são iguais — portanto cancelam, restando
\frac{d}{dx}\arcsinh x=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}.
Esse é um resultado útil e rápido de lembrar: a derivada de \arcsinh x é 1/\sqrt{x^{2}+1}.

Passo 6

Agora aplicamos a Regra de L’Hôpital à razão original. Como tínhamos forma \infty/\infty e ambos os termos são diferenciáveis para x>0, pela Regra de L’Hôpital
\lim_{x\to\infty}\frac{\arcsinh x}{x} =\lim_{x\to\infty}\frac{\dfrac{d}{dx}\arcsinh x}{\dfrac{d}{dx}x} =\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}.

Passo 7

Calculamos o limite da direita. Para x\to\infty temos \sqrt{x^{2}+1}\to\infty, e mais concretamente \sqrt{x^{2}+1}\ge x para x\ge0, então
0\le\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}\le\frac{1}{x}\quad\text{e}\quad\frac{1}{x}\to0.
Pelo confronto, segue que
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}=0.

Passo 8

Conclusão final do cálculo: como a aplicação de L’Hôpital deu 0, o limite pedido é 0. Vou acrescentar uma observação alternativa curta, só para reforçar: usando a forma logarítmica
\arcsinh x=\ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr)=\ln x+\ln\bigl(1+\sqrt{1+1/x^{2}}\bigr),
e para x\to\infty a segunda parcela fica próxima de \ln 2, então \arcsinh x cresce como \ln x, muito mais devagar que x; por isso \arcsinh x/x\to0. Isso confirma o resultado obtido com L’Hôpital.

Resposta

0

Exercícios relacionados