\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{3 x^{4}+5 x}{2 x^{2}-3 x-7}.

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to -\infty}\frac{3x^{4}+5x}{2x^{2}-3x-7}.
Informações relevantes dadas:
  • O numerador é o polinômio 3x^{4}+5x (grau 4, coeficiente líder 3).
  • O denominador é o polinômio 2x^{2}-3x-7 (grau 2, coeficiente líder 2).
  • A variável x tende a -\infty (valores com grande módulo e sinal negativo).

Passo 2

Ideia geral (regra prática para limites de racionais): comparar os graus dos polinômios do numerador e do denominador.
  • Se o grau do numerador > grau do denominador então o quociente tende a infinito em módulo (isto é, \pm\infty); o sinal depende do termo dominante.
  • Se os graus são iguais então o limite é a razão dos coeficientes líderes.
  • Se o grau do numerador < grau do denominador então o limite é 0.
Explicação por que isso funciona: para x com grande módulo, os termos de maior potência dominam; os termos com 1/x, 1/x^2 etc. tornam-se desprezíveis.

Passo 3

Aplicando ao caso concreto: o grau do numerador é 4 e o do denominador é 2. Como 4>2, o limite terá módulo infinito. Precisamos determinar o sinal (positivo ou negativo).

Passo 4

Fazer uma manipulação algébrica que deixa claro o comportamento dominante, dividindo numerador e denominador por x^{2} (a maior potência do denominador) para simplificar a análise:
\frac{3x^{4}+5x}{2x^{2}-3x-7} = \frac{3x^{2}+\dfrac{5}{x}}{2-\dfrac{3}{x}-\dfrac{7}{x^{2}}}.

Passo 5

Analisar o limite da expressão obtida quando x\to -\infty.
  • Os termos \dfrac{5}{x}, \dfrac{3}{x} e \dfrac{7}{x^{2}} tendem a 0 quando x\to -\infty.
  • Portanto, para x muito grande em módulo a expressão se comporta como \dfrac{3x^{2}}{2}.
  • Como x\to -\infty implica que x^{2}\to +\infty, o produto \dfrac{3}{2}x^{2} tende a +\infty. Conclusão: o limite é +\infty. (Em palavras: o termo dominante é 3x^{4} no numerador e 2x^{2} no denominador, então a função cresce como \tfrac{3}{2}x^{2} para x de grande módulo; como x^{2} é sempre positivo, o crescimento vai para +\infty.)

Resposta

+\infty

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