.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes dadas:
- O numerador é o polinômio
(grau , coeficiente líder ). - O denominador é o polinômio
(grau , coeficiente líder ). - A variável
tende a (valores com grande módulo e sinal negativo).
Passo 2
Ideia geral (regra prática para limites de racionais): comparar os graus dos polinômios do numerador e do denominador.
- Se o grau do numerador
grau do denominador então o quociente tende a infinito em módulo (isto é, ); o sinal depende do termo dominante. - Se os graus são iguais então o limite é a razão dos coeficientes líderes.
- Se o grau do numerador
grau do denominador então o limite é .
Explicação por que isso funciona: para
com grande módulo, os termos de maior potência dominam; os termos com
,
etc. tornam-se desprezíveis.
Passo 3
Aplicando ao caso concreto: o grau do numerador é
e o do denominador é
. Como
, o limite terá módulo infinito. Precisamos determinar o sinal (positivo ou negativo).
Passo 4
Fazer uma manipulação algébrica que deixa claro o comportamento dominante, dividindo numerador e denominador por
(a maior potência do denominador) para simplificar a análise:
Passo 5
Analisar o limite da expressão obtida quando
.
- Os termos
, e tendem a quando . - Portanto, para
muito grande em módulo a expressão se comporta como . - Como
implica que , o produto tende a . Conclusão: o limite é . (Em palavras: o termo dominante é no numerador e no denominador, então a função cresce como para de grande módulo; como é sempre positivo, o crescimento vai para .)