.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite quando
tende a
da função racional
Informações dadas:
- Numerador:
(polinômio de grau 3). - Denominador:
(polinômio de grau 1). - A variável
tende a .
O que se quer: encontrar o valor (ou dizer que diverge) do limite
Passo 2
Ideia e ferramentas que vamos usar (explicadas devagarinho).
- Para limites quando
de razões de polinômios, o comportamento é dominado pelos termos de maior grau (os termos líderes). - Mais precisamente, se o numerador tem grau
e o denominador grau : - Se
, o limite é . - Se
, o limite é o quociente dos coeficientes líderes. - Se
, o valor absoluto do quociente cresce sem limite; o sinal depende do sinal do termo dominante combinado com o comportamento de .
- Se
- Uma forma mecânica e clara de ver isso é fatorar as maiores potências de
do numerador e do denominador e simplificar. Vou mostrar esse procedimento passo a passo.
Passo 3
Fatorar as potências de
principais para expor o termo dominante. Aqui o maior expoente no numerador é
e no denominador é
. Então fatoramos
no numerador e
no denominador:
Agora simplificamos o fator comum
:
Passo 4
Avaliar limites dos fatores pequenos quando
.
- Para
tem-se , e . - Portanto a fração dentro da expressão tende a
Assim, quando
,
Observação importante:
é sempre não-negativo e quando
temos
. Multiplicando por
obtém-se uma quantidade que cresce sem limite e continua positiva.
Passo 5
(solução alternativa — divisão de polinômios, para ver explicitamente o termo dominante)
Fazendo a divisão de por
obtém-se um quociente polinomial cujo termo dominante é
mais termos de grau menor, e um resto constante dividido por
. Esquematicamente:
Fazendo a divisão de
O primeiro parêntese tem termo dominante
que tende a
quando
; o último termo
. Logo a função diverge para infinito positivo. (Essa verificação só confirma de outra maneira o que já vimos no passo anterior.)