\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{2 x^{3}-3 x+1}{7 x+5}.

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite quando x tende a -\infty da função racional
\frac{2x^{3}-3x+1}{7x+5}.
Informações dadas:
  • Numerador: 2x^{3}-3x+1 (polinômio de grau 3).
  • Denominador: 7x+5 (polinômio de grau 1).
  • A variável x tende a -\infty.
O que se quer: encontrar o valor (ou dizer que diverge) do limite
\lim_{x\to -\infty}\frac{2x^{3}-3x+1}{7x+5}.

Passo 2

Ideia e ferramentas que vamos usar (explicadas devagarinho).
  • Para limites quando x\to\pm\infty de razões de polinômios, o comportamento é dominado pelos termos de maior grau (os termos líderes).
  • Mais precisamente, se o numerador tem grau n e o denominador grau m:
    • Se n<m, o limite é 0.
    • Se n=m, o limite é o quociente dos coeficientes líderes.
    • Se n>m, o valor absoluto do quociente cresce sem limite; o sinal depende do sinal do termo dominante combinado com o comportamento de x.
  • Uma forma mecânica e clara de ver isso é fatorar as maiores potências de x do numerador e do denominador e simplificar. Vou mostrar esse procedimento passo a passo.

Passo 3

Fatorar as potências de x principais para expor o termo dominante. Aqui o maior expoente no numerador é 3 e no denominador é 1. Então fatoramos x^{3} no numerador e x no denominador:
\frac{2x^{3}-3x+1}{7x+5} = \frac{x^{3}\bigl(2 - \dfrac{3}{x^{2}} + \dfrac{1}{x^{3}}\bigr)}{x\bigl(7 + \dfrac{5}{x}\bigr)}.
Agora simplificamos o fator comum x:
\frac{2x^{3}-3x+1}{7x+5} = x^{2}\,\frac{2 - \dfrac{3}{x^{2}} + \dfrac{1}{x^{3}}}{7 + \dfrac{5}{x}}.

Passo 4

Avaliar limites dos fatores pequenos quando x\to -\infty.
  • Para x\to -\infty tem-se \dfrac{3}{x^{2}}\to 0, \dfrac{1}{x^{3}}\to 0 e \dfrac{5}{x}\to 0.
  • Portanto a fração dentro da expressão tende a
\frac{2 - 0 + 0}{7 + 0}=\frac{2}{7}.
Assim, quando x\to -\infty,
\frac{2x^{3}-3x+1}{7x+5}\sim x^{2}\cdot\frac{2}{7}.
Observação importante: x^{2} é sempre não-negativo e quando x\to -\infty temos x^{2}\to +\infty. Multiplicando por \dfrac{2}{7}>0 obtém-se uma quantidade que cresce sem limite e continua positiva.

Passo 5

(solução alternativa — divisão de polinômios, para ver explicitamente o termo dominante)
Fazendo a divisão de 2x^{3}-3x+1 por 7x+5 obtém-se um quociente polinomial cujo termo dominante é \tfrac{2}{7}x^{2} mais termos de grau menor, e um resto constante dividido por 7x+5. Esquematicamente:
\frac{2x^{3}-3x+1}{7x+5} = \left(\frac{2}{7}x^{2}-\frac{10}{49}x-\frac{97}{343}\right)+\frac{828/343}{7x+5}.
O primeiro parêntese tem termo dominante \tfrac{2}{7}x^{2} que tende a +\infty quando x\to -\infty; o último termo \dfrac{828/343}{7x+5}\to 0. Logo a função diverge para infinito positivo. (Essa verificação só confirma de outra maneira o que já vimos no passo anterior.)

Resposta

+\infty

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