\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{2 x+3}{2 x+1}\right)^{x+1};

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite quando x tende a infinito da função
\left(\frac{2x+3}{2x+1}\right)^{x+1}.
Informações dadas e objetivo claros:
  • A variável tende a +\infty.
  • A expressão é \left(\dfrac{2x+3}{2x+1}\right)^{x+1}.
  • Queremos encontrar o valor numérico desse limite.

Passo 2

Simplificar a base para ver a forma de pequeno incremento sobre 1. Faço uma álgebra simples:
\frac{2x+3}{2x+1}=\frac{(2x+1)+2}{2x+1}=1+\frac{2}{2x+1}.
Portanto a expressão do limite é
\left(1+\frac{2}{2x+1}\right)^{x+1}.

Passo 3

Explico a técnica que vou usar (uma técnica muito útil em prova): tomar o logaritmo natural torna mais fácil tratar potências cujo expoente tende a infinito. Seja
L=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{2}{2x+1}\right)^{x+1}.
Se L>0, então \ln L=\lim_{x\to\infty}(x+1)\ln\!\left(1+\frac{2}{2x+1}\right), desde que o limite do lado direito exista. Aqui a base é maior que 1 para x grande, então é seguro tomar ln.

Passo 4

Estudo o comportamento de (x+1)\ln\!\left(1+\dfrac{2}{2x+1}\right). Uso o fato padrão (que é ótimo para prova e vale por definição das séries ou pela regra de L’Hôpital):
\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1.
No nosso caso t=\dfrac{2}{2x+1}\to 0 quando x\to\infty. Escrevo
(x+1)\ln\!\left(1+\frac{2}{2x+1}\right) =(x+1)\cdot\frac{2}{2x+1}\cdot\frac{\ln\!\left(1+\dfrac{2}{2x+1}\right)}{\dfrac{2}{2x+1}}.

Passo 5

Calculo o limite do primeiro fator multiplicativo e aplico o limite do quociente de ln:
\lim_{x\to\infty}(x+1)\cdot\frac{2}{2x+1} =\lim_{x\to\infty}\frac{2(x+1)}{2x+1} =\lim_{x\to\infty}\frac{2x+2}{2x+1}=1.
E pelo fato citado,
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln\!\left(1+\dfrac{2}{2x+1}\right)}{\dfrac{2}{2x+1}}=1.
Multiplicando os limites (produto de limites finitos) obtemos
\lim_{x\to\infty}(x+1)\ln\!\left(1+\frac{2}{2x+1}\right)=1\cdot 1=1.

Passo 6

Voltando ao logaritmo do limite, achamos \ln L=1. Portanto
L=e^{\ln L}=e^1=e.

Resposta

e

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