;
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite quando
tende a infinito da função
Informações dadas e objetivo claros:
- A variável tende a
. - A expressão é
. - Queremos encontrar o valor numérico desse limite.
Passo 2
Simplificar a base para ver a forma de pequeno incremento sobre
. Faço uma álgebra simples:
Portanto a expressão do limite é
Passo 3
Explico a técnica que vou usar (uma técnica muito útil em prova): tomar o logaritmo natural torna mais fácil tratar potências cujo expoente tende a infinito. Seja
Se
, então
, desde que o limite do lado direito exista. Aqui a base é maior que
para
grande, então é seguro tomar ln.
Passo 4
Estudo o comportamento de
. Uso o fato padrão (que é ótimo para prova e vale por definição das séries ou pela regra de L’Hôpital):
No nosso caso
quando
. Escrevo
Passo 5
Calculo o limite do primeiro fator multiplicativo e aplico o limite do quociente de ln:
E pelo fato citado,
Multiplicando os limites (produto de limites finitos) obtemos
Passo 6
Voltando ao logaritmo do limite, achamos
. Portanto