Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
com a informação adicional
. Ou seja:
- A variável que tende a zero é
. - A expressão envolve raízes cúbicas
. - Queremos o valor desse limite em função de
(assumindo ).
Passo 2
Escolha do método (sem jargão): uma forma elegante e elementar de tratar diferenças envolvendo raízes cúbicas é usar a identidade da diferença de cubos
Essa identidade permite eliminar a diferença
do numerador quando temos algo como
dividido por algo relacionado a
. Vou aplicar isso com
e
. Esse método não usa regras prontas de derivada, só álgebra e a propriedade de continuidade de funções polinomiais.
Passo 3
Definindo
a expressão do limite fica
Multiplico numerador e denominador por
(que é permitido desde que não seja zero; vamos verificar depois). Usando a identidade de cubos:
Mas
e
. Então
Passo 4
Agora tomamos o limite quando
. À medida que
temos
. Como a função que recebe
e devolve
é polinomial (logo contínua), podemos substituir os valores limites diretamente no denominador:
No lado direito há três termos iguais, logo o denominador é
. Observação importante: como
, tem
e portanto o denominador
é diferente de zero, então a operação é válida.
Passo 5
Simplificando a expressão do passo anterior obtemos
Escrevendo de forma alternativa usando potências:
Como checagem rápida: para
temos
e a fórmula dá
, que faz sentido numericamente.