\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{x+h}-\sqrt[3]{x}}{h}(x \neq 0)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt[3]{x+h}-\sqrt[3]{x}}{h},
com a informação adicional x \neq 0. Ou seja:
  • A variável que tende a zero é h.
  • A expressão envolve raízes cúbicas \sqrt[3]{\cdot}.
  • Queremos o valor desse limite em função de x (assumindo x\neq0).

Passo 2

Escolha do método (sem jargão): uma forma elegante e elementar de tratar diferenças envolvendo raízes cúbicas é usar a identidade da diferença de cubos
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).
Essa identidade permite eliminar a diferença (a-b) do numerador quando temos algo como a-b dividido por algo relacionado a a^3-b^3. Vou aplicar isso com a=\sqrt[3]{x+h} e b=\sqrt[3]{x}. Esse método não usa regras prontas de derivada, só álgebra e a propriedade de continuidade de funções polinomiais.

Passo 3

Definindo
a=\sqrt[3]{x+h},\qquad b=\sqrt[3]{x},
a expressão do limite fica
\frac{a-b}{h}.
Multiplico numerador e denominador por a^2+ab+b^2 (que é permitido desde que não seja zero; vamos verificar depois). Usando a identidade de cubos:
\frac{a-b}{h}=\frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{h\,(a^2+ab+b^2)} =\frac{a^3-b^3}{h\,(a^2+ab+b^2)}.
Mas a^3=(\sqrt[3]{x+h})^3=x+h e b^3=(\sqrt[3]{x})^3=x. Então
\frac{a-b}{h}=\frac{(x+h)-x}{h\,(a^2+ab+b^2)}=\frac{1}{a^2+ab+b^2}.

Passo 4

Agora tomamos o limite quando h\to0. À medida que h\to0 temos a=\sqrt[3]{x+h}\to\sqrt[3]{x}=b. Como a função que recebe (a,b) e devolve a^2+ab+b^2 é polinomial (logo contínua), podemos substituir os valores limites diretamente no denominador:
\lim_{h\to0}\frac{1}{a^2+ab+b^2}=\frac{1}{(\sqrt[3]{x})^2+(\sqrt[3]{x})(\sqrt[3]{x})+(\sqrt[3]{x})^2}.
No lado direito há três termos iguais, logo o denominador é 3(\sqrt[3]{x})^2. Observação importante: como x\neq0, tem \sqrt[3]{x}\neq0 e portanto o denominador 3(\sqrt[3]{x})^2 é diferente de zero, então a operação é válida.

Passo 5

Simplificando a expressão do passo anterior obtemos
\lim_{h\to0}\frac{\sqrt[3]{x+h}-\sqrt[3]{x}}{h}=\frac{1}{3(\sqrt[3]{x})^2}.
Escrevendo de forma alternativa usando potências:
\frac{1}{3(\sqrt[3]{x})^2}=\frac{1}{3}\,x^{-2/3}.
Como checagem rápida: para x=8 temos \sqrt[3]{8}=2 e a fórmula dá 1/(3\cdot 2^2)=1/12, que faz sentido numericamente.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3(\sqrt[3]{x})^2}=\frac{1}{3}\,x^{-2/3}

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