1. \lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\sqrt{4 x^{2}+3 x}+2 x\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to -\infty}\bigl(\sqrt{4x^2+3x}+2x\bigr).
O conteúdo aqui é limite de função com raiz quadrada envolvendo x\to-\infty. Para resolver, vamos usar a técnica de racionalização, isto é, multiplicar e dividir pelo conjugado.

Passo 2

Multiplicamos a expressão por \dfrac{\sqrt{4x^2+3x}-2x}{\sqrt{4x^2+3x}-2x}:
\sqrt{4x^2+3x}+2x = \frac{(\sqrt{4x^2+3x}+2x)\,(\sqrt{4x^2+3x}-2x)}{\sqrt{4x^2+3x}-2x} =\frac{4x^2+3x-4x^2}{\sqrt{4x^2+3x}-2x} =\frac{3x}{\sqrt{4x^2+3x}-2x}.

Passo 3

No denominador, fatoramos x^2 dentro da raiz e lembramos que, para x\to -\infty, vale \lvert x\rvert=-x:
\sqrt{4x^2+3x} = |x|\sqrt{4+\frac{3}{x}} = -x\sqrt{4+\frac{3}{x}}.
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\sqrt{4x^2+3x}-2x =-x\sqrt{4+\frac{3}{x}} -2x =-x\Bigl(\sqrt{4+\frac{3}{x}}+2\Bigr).
Substituindo em \frac{3x}{\sqrt{4x^2+3x}-2x}, obtemos
\frac{3x}{-x\bigl(\sqrt{4+\tfrac{3}{x}}+2\bigr)} =-\frac{3}{\sqrt{4+\tfrac{3}{x}}+2}.

Passo 4

Agora fazemos x\to -\infty dentro da raiz:
\sqrt{4+\frac{3}{x}} \longrightarrow \sqrt{4+0}=2.
Assim o limite vira
-\frac{3}{2+2}=-\frac{3}{4}.

Resposta

-\tfrac{3}{4}

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