1. \lim _{x \rightarrow \infty}\left(e^{-2 x} \cos x\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to\infty}\bigl(e^{-2x}\cos x\bigr).
O conteúdo envolvido é limite de função no infinito, em particular o produto de uma exponencial decrescente com uma função periódica. Vamos usar o fato de que e^{-2x} tende a zero quando x\to\infty e que \cos x é limitada, aplicando o teorema do confronto.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a função exponencial com coeficiente negativo decai para zero. Ou seja,
\lim_{x\to\infty}e^{-2x}=0.
Isso vale porque, à medida que x cresce, o valor de -2x vai a -\infty e e^{(\cdot)} em -\infty é zero.

Passo 3

Em seguida, sabemos que a função cosseno oscila entre -1 e 1. Formalmente, para todo x,
-1\le\cos x\le1.

Passo 4

Multiplicando essa desigualdade por e^{-2x}, que é sempre positivo, obtemos
-e^{-2x}\le e^{-2x}\cos x\le e^{-2x}.
Aqui usamos que se 0<A então A\cdot(-1)\le A\cos x\le A\cdot1.

Passo 5

Agora aplicamos o limite em cada extremidade do trecho. Como já vimos,
\lim_{x\to\infty}e^{-2x}=0 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to\infty}\bigl(-e^{-2x}\bigr)=0.
Pelo teorema do confronto (squeeze theorem), a função intermediária e^{-2x}\cos x também deve tender a zero.

Resposta

0

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