Passo 1
O enunciado pede para calcular
O conteúdo envolvido é limite de função no infinito, em particular o produto de uma exponencial decrescente com uma função periódica. Vamos usar o fato de que
tende a zero quando
e que
é limitada, aplicando o teorema do confronto.
Passo 2
Primeiro, lembramos que a função exponencial com coeficiente negativo decai para zero. Ou seja,
Isso vale porque, à medida que
cresce, o valor de
vai a
e
em
é zero.
Passo 3
Em seguida, sabemos que a função cosseno oscila entre
e
. Formalmente, para todo
,
Passo 4
Multiplicando essa desigualdade por
, que é sempre positivo, obtemos
Aqui usamos que se
então
.
Passo 5
Agora aplicamos o limite em cada extremidade do trecho. Como já vimos,
Pelo teorema do confronto (squeeze theorem), a função intermediária
também deve tender a zero.