1. \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{x^{2}+a x}-\sqrt{x^{2}+b x}\right)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to\infty}\bigl(\sqrt{x^{2}+a x}-\sqrt{x^{2}+b x}\bigr).
O conteúdo aqui é manipulação de limites envolvendo raízes e usamos duas estratégias: racionalização do tipo diferença de raízes e fatoração de x dentro da raiz para estudar o comportamento assintótico.

Passo 2

Para eliminar a diferença de raízes, multiplicamos e dividimos pela conjugada:
\sqrt{x^{2}+a x}-\sqrt{x^{2}+b x} =\frac{\bigl(\sqrt{x^{2}+a x}-\sqrt{x^{2}+b x}\bigr)\bigl(\sqrt{x^{2}+a x}+\sqrt{x^{2}+b x}\bigr)}{\sqrt{x^{2}+a x}+\sqrt{x^{2}+b x}} =\frac{(x^{2}+a x)-(x^{2}+b x)}{\sqrt{x^{2}+a x}+\sqrt{x^{2}+b x}}.

Passo 3

No numerador simplifica:
(x^{2}+a x)-(x^{2}+b x)=(a-b)\,x.
Logo a expressão fica
\frac{(a-b)\,x}{\sqrt{x^{2}+a x}+\sqrt{x^{2}+b x}}.

Passo 4

Fatoramos x dentro de cada raiz, lembrando que x>0 quando x\to\infty:
\sqrt{x^{2}+a x}=x\sqrt{1+\frac{a}{x}}, \quad \sqrt{x^{2}+b x}=x\sqrt{1+\frac{b}{x}}.
Substituindo,
\frac{(a-b)\,x}{x\sqrt{1+\tfrac{a}{x}}+x\sqrt{1+\tfrac{b}{x}}} =\frac{a-b}{\sqrt{1+\tfrac{a}{x}}+\sqrt{1+\tfrac{b}{x}}}.

Passo 5

Como x\to\infty, temos \tfrac{a}{x}\to0 e \tfrac{b}{x}\to0. Então
\sqrt{1+\tfrac{a}{x}}\to1, \quad \sqrt{1+\tfrac{b}{x}}\to1,
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\lim_{x\to\infty}\frac{a-b}{\sqrt{1+\tfrac{a}{x}}+\sqrt{1+\tfrac{b}{x}}} =\frac{a-b}{1+1} =\frac{a-b}{2}.

Resposta

\boxed{\frac{a-b}{2}}.

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