Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
tende a
:
Informações dadas explicitas:
- A expressão é o produto de
(um polinômio de grau 2) por (uma função exponencial). - A variável
tende para (ou seja, para valores negativos com módulo crescendo).
Passo 2
Primeira ideia: transformar a expressão para uma forma mais conveniente. Faça a substituição
. Então, quando
temos
. Reescrevendo
em função de
:
Portanto o problema equivalente é calcular
Passo 3
Agora vamos analisar a forma deste limite. Quando
temos
e
, então a expressão
apresenta uma indeterminação do tipo
. Para tratar isso de forma rigorosa podemos usar o Teorema de L’Hôpital.
L’Hôpital (forma resumida): se
(ou
em ambos), e
são diferenciáveis com
perto do infinito, então
se o limite do lado direito existir.
Passo 4
Aplique L’Hôpital à
Derivando numerador e denominador:
-
, -
.
Logo, pelo Teorema de L’Hôpital,
Passo 5
Ainda temos uma indeterminação
em
, então aplicamos L’Hôpital mais uma vez:
-
, -
.
Portanto
Passo 6
Agora o limite
é claro: o denominador
tende para
, então a fração tende para
. Assim
Passo 7
Voltando para a variável original
(lembre que fizemos
), concluímos que
Intuição curta e útil: quando
temos
decaindo exponencialmente (muito rápido) enquanto
cresce só polinomialmente em módulo; o decaimento exponencial vence, fazendo o produto ir a
.