\lim _{x \rightarrow-\infty} x^{2} e^{x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x tende a -\infty:
\lim_{x\rightarrow -\infty} x^{2} e^{x}.
Informações dadas explicitas:
  • A expressão é o produto de \,x^{2}\, (um polinômio de grau 2) por \,e^{x}\, (uma função exponencial).
  • A variável x tende para -\infty (ou seja, para valores negativos com módulo crescendo).

Passo 2

Primeira ideia: transformar a expressão para uma forma mais conveniente. Faça a substituição \,t=-x\,. Então, quando x\to -\infty temos t\to +\infty. Reescrevendo x^{2}e^{x} em função de t:
x^{2}e^{x} = (-t)^{2} e^{-t} = t^{2} e^{-t} = \frac{t^{2}}{e^{t}}.
Portanto o problema equivalente é calcular
\lim_{t\rightarrow +\infty} \frac{t^{2}}{e^{t}}.

Passo 3

Agora vamos analisar a forma deste limite. Quando t\to +\infty temos t^{2}\to +\infty e e^{t}\to +\infty, então a expressão \frac{t^{2}}{e^{t}} apresenta uma indeterminação do tipo \frac{\infty}{\infty}. Para tratar isso de forma rigorosa podemos usar o Teorema de L’Hôpital.
L’Hôpital (forma resumida): se \lim_{t\to\infty} f(t)=\lim_{t\to\infty} g(t)=\infty (ou 0 em ambos), e f,g são diferenciáveis com g'(t)\neq0 perto do infinito, então
\lim_{t\to\infty}\frac{f(t)}{g(t)} = \lim_{t\to\infty}\frac{f'(t)}{g'(t)}
se o limite do lado direito existir.

Passo 4

Aplique L’Hôpital à
\lim_{t\rightarrow +\infty} \frac{t^{2}}{e^{t}}.
Derivando numerador e denominador:
  • \frac{d}{dt}(t^{2}) = 2t,
  • \frac{d}{dt}(e^{t}) = e^{t}.
Logo, pelo Teorema de L’Hôpital,
\lim_{t\rightarrow +\infty} \frac{t^{2}}{e^{t}} = \lim_{t\rightarrow +\infty} \frac{2t}{e^{t}}.

Passo 5

Ainda temos uma indeterminação \frac{\infty}{\infty} em \frac{2t}{e^{t}}, então aplicamos L’Hôpital mais uma vez:
  • \frac{d}{dt}(2t) = 2,
  • \frac{d}{dt}(e^{t}) = e^{t}.
Portanto
\lim_{t\rightarrow +\infty} \frac{2t}{e^{t}} = \lim_{t\rightarrow +\infty} \frac{2}{e^{t}}.

Passo 6

Agora o limite \lim_{t\rightarrow +\infty} \frac{2}{e^{t}} é claro: o denominador e^{t} tende para +\infty, então a fração tende para 0. Assim
\lim_{t\rightarrow +\infty} \frac{2}{e^{t}} = 0.

Passo 7

Voltando para a variável original x (lembre que fizemos t=-x), concluímos que
\lim_{x\rightarrow -\infty} x^{2} e^{x} = 0.
Intuição curta e útil: quando x\to -\infty temos e^{x} decaindo exponencialmente (muito rápido) enquanto x^{2} cresce só polinomialmente em módulo; o decaimento exponencial vence, fazendo o produto ir a 0.

Resposta

0

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