Construir a bisectriz de um ângulo cujo vértice é inacessível.
Passo 1
O que o problema pede: construir a bissetriz de um ângulo cujas duas semirretas são visíveis, mas cujo vértice é inacessível (ou seja, não podemos colocar o compasso ou traçar diretamente o ponto vértice). Em outras palavras: temos duas semirretas que se encontram num ponto
que não podemos marcar, e queremos traçar a reta que passa por
e divide o ângulo
formado por essas semirretas em duas partes iguais.
Informações dadas (o que podemos usar):
- As duas semirretas (os dois lados do ângulo) estão desenhadas e podemos marcar pontos sobre cada uma delas.
- Podemos usar régua e compasso em qualquer ponto acessível (exceto em
, que é inacessível). - O enunciado pede apenas a construção geométrica da bissetriz, não coordenadas numéricas.
O que vamos obter ao final:
- Uma reta que passa por
(mesmo que não esteja marcado) e que é a bissetriz do ângulo.
Passo 2
Ideia básica e estratégia (sem fazer contas ainda): vamos usar um procedimento de “passos alternados” com o compasso para obter dois pontos, um em cada semirreta, que fiquem relacionados por um segmento cujos pontos médios/perpendicular correspondentes determinam a bissetriz. Mais concretamente, vamos construir uma cadeia de arcos de mesmo raio que vai “saltar” alternadamente de uma semirreta para a outra; com apenas dois saltos já conseguimos um par de pontos
(na primeira semirreta) e
(na segunda semirreta) tais que a mediatriz do segmento
é exatamente a bissetriz procurada. Vou mostrar como fazer cada passo com o compasso e depois explicar por que funciona.
Passo 3
Marcar o primeiro ponto na primeira semirreta: escolha um ponto arbitrário na primeira semirreta e chame-o de
. Não há restrição para a posição de
além de estar sobre a semirreta.
(Comentário amigo: escolha um ponto mais ou menos perto da região útil, não muito longe — facilita os traçados.)
Passo 4
Escolher o raio do compasso e marcar o primeiro ponto na segunda semirreta: abra o compasso com um raio qualquer
suficientemente grande para que um arco centrado em
corte a segunda semirreta. Com centro em
e raio
faça um arco que intersecta a segunda semirreta em um ponto; chame esse ponto de
.
Observações práticas:
- Se o primeiro arco não corta a segunda semirreta (raio pequeno), aumente
até cortar. - Sempre mantenha o mesmo raio
nos passos seguintes; essa igualdade de raios é crucial.
Passo 5
A partir de
marcar o próximo ponto na primeira semirreta: sem mudar o raio
, coloque a ponta do compasso em
e faça um arco que intersecte a primeira semirreta. Chame essa intersecção de
.
Resultado obtido até aqui:
- Temos pontos
e sobre a primeira semirreta e sobre a segunda semirreta. - Pelas construções, vale
e . Ou seja, os dois segmentos que fizemos consecutivamente têm o mesmo comprimento .
Passo 6
Construir a mediatriz do segmento
: com o compasso escolha um raio maior do que metade de
. Com centro em
trace dois arcos acima e abaixo do segmento
. Com o mesmo raio e centro em
trace dois arcos que cortem os arcos anteriores. Os pontos de interseção desses arcos determinam uma reta — traçando essa reta obtemos a mediatriz de
. Denote essa reta por
.
Nota prática: esse é o procedimento padrão para traçar a mediatriz (perpendicular bisector) de um segmento com compasso e régua.
Passo 7
Afirmar o que acabamos de construir: a reta
é perpendicular a
e passa pelo ponto médio de
. Agora resta mostrar por que
passa por
e, além disso, por que
é a bissetriz do ângulo entre as duas semirretas.
Passo 8
Intuição geométrica do porquê (explicação passo a passo, simples e sem jargões pesados):
-
Pelo procedimento, construímos um “zig–zag” de dois saltos: partimos de
(em L1) até (em L2) usando um arco de raio , e depois de voltamos até (em L1) com o mesmo raio . Isso significa que os triângulos têm dois lados consecutivos iguais: e . Portanto, é imagem de por reflexão em relação à mediatriz de . -
A reflexão em torno da mediatriz de
troca e . Como e estão sobre a mesma semirreta (L1), e está sobre a outra semirreta (L2), a reflexão que troca e também troca parcialmente a direção da semirreta L1 pela direção da semirreta L2 (visto localmente nos pontos escolhidos). Ou seja, a mediatriz é um eixo de simetria que envia (pelo menos nesses pontos) L1 em L2. -
O vértice
é o único ponto comum às duas semirretas L1 e L2. Uma reflexão que troca a semirreta L1 com L2 deve enviar o ponto comum (quando for definido globalmente) em si mesmo — isto é, o ponto de interseção das duas semirretas é fixo pela reflexão. Portanto, a mediatriz de passa por . -
Toda reta que passa por
e que é eixo de reflexão trocando L1 com L2 é, por definição, a bissetriz do ângulo formado por L1 e L2: ela divide o ângulo em duas partes congruentes. Logo é a bissetriz procurada.
(Resumo da ideia: como construímos dois pontos correspondentes por uma reflexão —
e
— a mediatriz que troca esses pontos atua como simetria que troca as semirretas; o ponto fixo dessa simetria é o vértice
, então a mediatriz passa por
e é a bissetriz.)
Passo 9
Verificação prática (o que fazer na prova para convencer o corretor):
- Mostre que
(pelas construções). - Construa a mediatriz
de (procedimento padrão com compasso). - Argumente que a reflexão em
troca e e, portanto, troca localmente L1 com L2; assim (interseção de L1 e L2) é ponto fixo da reflexão, isto é, . - Como
passa por e troca as semirretas, ela divide o ângulo em duas partes iguais, logo é a bissetriz.
Se quiser, pode repetir o procedimento a partir de outro ponto inicial
ou com outro raio
: o resultado dará a mesma reta bissetriz.
Passo 10
Instruções práticas resumidas (passo a passo concreto para executar sobre o papel):
- Marque um ponto
sobre a primeira semirreta. - Abra o compasso com um raio
que faça o arco centrado em cortar a segunda semirreta; chame essa interseção de . - Sem mudar o raio
, trace um arco centrado em que corte novamente a primeira semirreta; chame essa interseção de . - Construa a mediatriz do segmento
(usando interseção de arcos com centros em e ). - A mediatriz obtida é a bissetriz do ângulo desejado.
Resposta
A mediatriz do segmento
é a bissetriz do ângulo formado pelas duas semirretas.