Construir a bisectriz de um ângulo cujo vértice é inacessível.

Passo 1

O que o problema pede: construir a bissetriz de um ângulo cujas duas semirretas são visíveis, mas cujo vértice é inacessível (ou seja, não podemos colocar o compasso ou traçar diretamente o ponto vértice). Em outras palavras: temos duas semirretas que se encontram num ponto O que não podemos marcar, e queremos traçar a reta que passa por O e divide o ângulo \angle formado por essas semirretas em duas partes iguais.
Informações dadas (o que podemos usar):
  • As duas semirretas (os dois lados do ângulo) estão desenhadas e podemos marcar pontos sobre cada uma delas.
  • Podemos usar régua e compasso em qualquer ponto acessível (exceto em O, que é inacessível).
  • O enunciado pede apenas a construção geométrica da bissetriz, não coordenadas numéricas.
O que vamos obter ao final:
  • Uma reta que passa por O (mesmo que O não esteja marcado) e que é a bissetriz do ângulo.

Passo 2

Ideia básica e estratégia (sem fazer contas ainda): vamos usar um procedimento de “passos alternados” com o compasso para obter dois pontos, um em cada semirreta, que fiquem relacionados por um segmento cujos pontos médios/perpendicular correspondentes determinam a bissetriz. Mais concretamente, vamos construir uma cadeia de arcos de mesmo raio que vai “saltar” alternadamente de uma semirreta para a outra; com apenas dois saltos já conseguimos um par de pontos A_2 (na primeira semirreta) e B_1 (na segunda semirreta) tais que a mediatriz do segmento A_2B_1 é exatamente a bissetriz procurada. Vou mostrar como fazer cada passo com o compasso e depois explicar por que funciona.

Passo 3

Marcar o primeiro ponto na primeira semirreta: escolha um ponto arbitrário na primeira semirreta e chame-o de \,A_1. Não há restrição para a posição de \,A_1 além de estar sobre a semirreta.
(Comentário amigo: escolha um ponto mais ou menos perto da região útil, não muito longe — facilita os traçados.)

Passo 4

Escolher o raio do compasso e marcar o primeiro ponto na segunda semirreta: abra o compasso com um raio qualquer \,r suficientemente grande para que um arco centrado em \,A_1 corte a segunda semirreta. Com centro em \,A_1 e raio \,r faça um arco que intersecta a segunda semirreta em um ponto; chame esse ponto de \,B_1.
Observações práticas:
  • Se o primeiro arco não corta a segunda semirreta (raio pequeno), aumente \,r até cortar.
  • Sempre mantenha o mesmo raio \,r nos passos seguintes; essa igualdade de raios é crucial.

Passo 5

A partir de \,B_1 marcar o próximo ponto na primeira semirreta: sem mudar o raio \,r, coloque a ponta do compasso em \,B_1 e faça um arco que intersecte a primeira semirreta. Chame essa intersecção de \,A_2.
Resultado obtido até aqui:
  • Temos pontos \,A_1 e \,A_2 sobre a primeira semirreta e \,B_1 sobre a segunda semirreta.
  • Pelas construções, vale \,A_1B_1 = r e \,B_1A_2 = r. Ou seja, os dois segmentos que fizemos consecutivamente têm o mesmo comprimento \,r.

Passo 6

Construir a mediatriz do segmento \,A_2B_1: com o compasso escolha um raio maior do que metade de |A_2B_1|. Com centro em \,A_2 trace dois arcos acima e abaixo do segmento \,A_2B_1. Com o mesmo raio e centro em \,B_1 trace dois arcos que cortem os arcos anteriores. Os pontos de interseção desses arcos determinam uma reta — traçando essa reta obtemos a mediatriz de \,A_2B_1. Denote essa reta por m.
Nota prática: esse é o procedimento padrão para traçar a mediatriz (perpendicular bisector) de um segmento com compasso e régua.

Passo 7

Afirmar o que acabamos de construir: a reta m é perpendicular a A_2B_1 e passa pelo ponto médio de A_2B_1. Agora resta mostrar por que m passa por O e, além disso, por que m é a bissetriz do ângulo entre as duas semirretas.

Passo 8

Intuição geométrica do porquê (explicação passo a passo, simples e sem jargões pesados):
  1. Pelo procedimento, construímos um “zig–zag” de dois saltos: partimos de \,A_1 (em L1) até \,B_1 (em L2) usando um arco de raio \,r, e depois de \,B_1 voltamos até \,A_2 (em L1) com o mesmo raio \,r. Isso significa que os triângulos \triangle A_1B_1A_2 têm dois lados consecutivos iguais: A_1B_1=r e B_1A_2=r. Portanto, B_1 é imagem de A_2 por reflexão em relação à mediatriz de A_2B_1.
  2. A reflexão em torno da mediatriz de A_2B_1 troca A_2 e B_1. Como A_2 e A_1 estão sobre a mesma semirreta (L1), e B_1 está sobre a outra semirreta (L2), a reflexão que troca A_2 e B_1 também troca parcialmente a direção da semirreta L1 pela direção da semirreta L2 (visto localmente nos pontos escolhidos). Ou seja, a mediatriz é um eixo de simetria que envia (pelo menos nesses pontos) L1 em L2.
  3. O vértice O é o único ponto comum às duas semirretas L1 e L2. Uma reflexão que troca a semirreta L1 com L2 deve enviar o ponto comum (quando for definido globalmente) em si mesmo — isto é, o ponto de interseção das duas semirretas é fixo pela reflexão. Portanto, a mediatriz de A_2B_1 passa por O.
  4. Toda reta que passa por O e que é eixo de reflexão trocando L1 com L2 é, por definição, a bissetriz do ângulo formado por L1 e L2: ela divide o ângulo em duas partes congruentes. Logo m é a bissetriz procurada.
(Resumo da ideia: como construímos dois pontos correspondentes por uma reflexão — A_2 e B_1 — a mediatriz que troca esses pontos atua como simetria que troca as semirretas; o ponto fixo dessa simetria é o vértice O, então a mediatriz passa por O e é a bissetriz.)

Passo 9

Verificação prática (o que fazer na prova para convencer o corretor):
  • Mostre que A_1B_1 = B_1A_2 = r (pelas construções).
  • Construa a mediatriz m de A_2B_1 (procedimento padrão com compasso).
  • Argumente que a reflexão em m troca A_2 e B_1 e, portanto, troca localmente L1 com L2; assim O (interseção de L1 e L2) é ponto fixo da reflexão, isto é, O\in m.
  • Como m passa por O e troca as semirretas, ela divide o ângulo em duas partes iguais, logo é a bissetriz.
Se quiser, pode repetir o procedimento a partir de outro ponto inicial \,A_1 ou com outro raio \,r: o resultado dará a mesma reta bissetriz.

Passo 10

Instruções práticas resumidas (passo a passo concreto para executar sobre o papel):
  1. Marque um ponto A_1 sobre a primeira semirreta.
  2. Abra o compasso com um raio r que faça o arco centrado em A_1 cortar a segunda semirreta; chame essa interseção de B_1.
  3. Sem mudar o raio r, trace um arco centrado em B_1 que corte novamente a primeira semirreta; chame essa interseção de A_2.
  4. Construa a mediatriz do segmento \,A_2B_1 (usando interseção de arcos com centros em A_2 e B_1).
  5. A mediatriz obtida é a bissetriz do ângulo desejado.

Resposta

A mediatriz do segmento A_2B_1 é a bissetriz do ângulo formado pelas duas semirretas.

Exercícios relacionados